Steckbriefaufgabe

Aufrufe: 819     Aktiv: 28.03.2020 um 15:47
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Huhu ich hätte folgende Frage zum Lösen einer LGS.

Gegeben sind: GRF 4,geht durch den Ursprung,

im Punkt W(1/-1) ist ein Wendepunkt,

im Punkt Q(2/0) - geht eine Wendetangente durch.

Daraus habe ich folgendes aufgestellt:

GRF 4

  1. f(x)=ax⁴+bx³+cx²+dx +e
  2. f'(x)=4ax³+3bx²+2cx+d
  3. f"(x)=64ax²+9bx+2c

Bedingungen

  1. I f(0) = 0
  2. II f(1)=-1
  3. III f(2)=0
  4. IV f"(1)=0
  5. V f"(2)=0

LGS

  1. I e = 0
  2. II a+b+c+d = -1
  3. III 16a+8b+4c+2d=0
  4. IV 64a+9b+2c
  5. V 256a+18b+2c

Wie mach ich das nun? 🙈

 

 

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gefragt

Schüler, Punkte: 12

 
Bist du sicher, dass Q ein Wendepunkt ist, oder ist Q nur ein Punkt auf der Wendetangente zu einem andern Punkt? Wie ist das in der Aufgabe formuliert?   ─   digamma 27.03.2020 um 17:52
Also die genaue Formulierung ist:
Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion f geht durch den Ursprung, hat in W(1/-1) einen Wendepunkt. Die Wendetangente geht durch Q(2/0). Bestimmen Sie f.   ─   kimchell 27.03.2020 um 18:51
Dann ist damit wohl die Wendetangente im Punkt W gemeint. Q ist ein zweiter Punkt auf dieser Tangente (aber nicht auf dem Graphen), nämlich der Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse. Daraus und aus den Koordinaten von W bekommst du eine Bedingung an die Steigung im Wendepunkt.
Das ist dann aber eine Bedinung weniger. Steht da, dass der Grad 4 ist, oder hast du das aus der Anzahl der Gleichungen geschlossen?   ─   digamma 27.03.2020 um 19:26
Ne, in der Aufgabe steht nichts von dem Grad. Der Grad einer GRF entspricht doch immer 1 weniger als die Anzahl der Bedingungen oder?   ─   kimchell 27.03.2020 um 19:38
Ok. Dann hast du nur 4 Bedingungen und damit Grad 3.   ─   digamma 27.03.2020 um 19:55
aber e = 0 ist doch quasi auch eine "Bedingung" oder nicht? Also die erste I.
Ich mein: Aus dem Schaubild erhalte ich ja 5 "Informationen"   ─   kimchell 27.03.2020 um 19:59
Nein, der Punkt Q liefert dir nur eine Information, nämlich über die Steigung im Punkt W. Der punkt Q liegt ja selbst nicht auf dem Graph. Die Bedingungen 3 und 5 werden durch \(f'(1) = \frac{0-(-1)}{2-1} = 1\) ersetzt.   ─   digamma 27.03.2020 um 20:51
Tipp: Achte bei der zweiten Ableitung auf genaues Rechnen. Dann ergibt es nämlich 12ax + 6bx + 2c   ─   ManuelBäuerle 28.03.2020 um 08:00
Ne, 4 * 3. Der Faktor 4 steht schon vorne, durch das Ableiten kommt noch der Faktor 3 dazu.   ─   digamma 28.03.2020 um 12:52
So hab’s mal korrigiert;
f(0)=0 I e = 0
f(1)=-1 II a+b+c+d=-1
f(2)=0 III 16a+8b+4c+2d=0
f”(1)=0 IV 12a+6b+2c=0
f”(2)=0 V 24a+12b+2c=0

stimmen das LGS soweit bevor ich weiter mache? 🤔   ─   kimchell 28.03.2020 um 13:06
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2 Antworten
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Du hast nun ein Gleichungssystem für die Unbekannten a, b, c, d und e, das du lösen musst. Da die erste Gleichung lautet e = 0, kannst du einfach das e überall streichen und erhälst ein LGS mit 4 Gleichungen für a, b, c und d. Dieses löst du mit dem Gaußverfahren (ob von Hand oder mit GTR oder CAS, das hängt davon ab, welche Hilfsmittel du benutzen darfst).

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Lehrer/Professor, Punkte: 7.74K

 
Kann ich statt Gauß (was ich noch nicht in der Schule hatte) auch Additions;- Einsetz;- oder Gleichsetzungsverfahren machen?
   ─   kimchell 27.03.2020 um 18:56
Ja das geht natürlich auch.   ─   holly 27.03.2020 um 19:39
Hmm ich hab das nun so gemacht:
II a+b+c+d = -1
III 16a+8b+4c+2d=0 III - II * 2 = VI
IV 64a+9b+2c VI - V = VII
V 256a+18b+2c VI - V = VIII
——————————
VI 14a + 6b +2c = -2

VII -50a -3b = -2 | *4
VIII -242a -12b = -2
——————————
VII -200a -12b = -8
VIII -242a -12b = -2 VIII - VII
-42a = 6 ; a = 1/7 --> in VIII , aber wenn ich es in VIII einsetze bekomme ich für b = 64/21 raus und wenn ich es dann in VI einsetze bekomme ich für c = -64/7 raus und für d = 152/21....also bei mir sind die Vorzeichen verdreht...
EDIT. ist falsch 😅 mein Fehler...
   ─   kimchell 27.03.2020 um 19:51

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Du hast das LGS gegeben:

\(a+b+c+d = -1\)
\(16a+8b+4c+2d=0\)
\(64a+9b+2c=0\)
\(256a+18b+2c=0\)

vereinfachen:

\(a+b+c+d = -1\)
\(8a+4b+2c+d=0\)
\(64a+9b+2c=0\)
\(128a+9b+c=0\)

mit Gauß-Elimination kommt man dann auf:

\(a=\frac{1}{7}\)
\(b=-\frac{64}{21}\)
\(c=\frac{64}{7}\)
\(d=-\frac{152}{21}\)

 

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Student, Punkte: 4.59K

 
Kannst du das nochmal formatieren? Backslash Klammer zu nach jeder Zeile, dann Zeilenumbruch und dann wieder Backslash Klammer auf.   ─   digamma 27.03.2020 um 18:10
bei mir hat es auch so funktioniert   ─   holly 27.03.2020 um 19:40
Bei mir jetzt auch. Vorher standen alle Gleichungen eines Systems ohne Zwischenraum in einer Zeile   ─   digamma 27.03.2020 um 19:56

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