Totale Ableitung einer Matrix

Aufrufe: 60     Aktiv: 09.06.2022 um 17:52

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Hallo Leute, ich soll zeigen, dass f: RR^(n,n) -> RR^(n,n), f(A) = A^3 total differenzierbar ist und ich soll die Ableitung bestimmen. 
Mein Ansatz: 
Ich will zeigen, dass
f(A+H) = f(A) + L(H) + R(H) mit lim_(H->0) ||R(H)|| / ||H|| = 0 gilt.
Im Allgemeinen ist die Matrix Multiplikation nicht Kommutativ.
f(A+H) = (A+H)^3 = (A+H)*(A+H)*(A+H) = (A^2 + A*H + H*A + H^2) (A+H)
=  A^3 + A*H*A + H*A^2 + H^2*A + A^2*H + A*H^2 + H*A*H + H^3

wir wissen dass A^3 = f(A) ist und für L(H) kommen nur die Matrizen infrage, die höchstens ein H^1 haben, also 
L(H) = A*H*A + H*A^2 + A^2*H 
 
demnach bleibt R(H)= H^2*A + A*H^2 + H*A*H + H^3
 
Sofern das richtig ist, wie zeigt man dann, dass 
lim_(H->0) ||H^2*A + A*H^2 + H*A*H + H^3||/||H|| =0 
ist? 
Meine erster Gedanke wäre jetzt, dass man das nach oben abschätzt mit
lim_(H->0) ||H^2*A|| / ||H|| + ||A*H^2|| / ||H|| + ||H*A*H|| / ||H|| + ||H^3|| / ||H|| und zeigt, dass das gegen 0 geht. Würde das gehen?
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Du kannst für die Abschätzung die Submultiplikativität sowie die Subadditivität der Matrixnorm nutzen. Habe die weitere Rechnung jetzt aber nicht überprüft.
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