Hey, die Definitionen hast du erstmal korrekt verstanden soweit ich das aus deiner Erklärung beurteilen kann ;)

Im Prinzip passiert hier das Gleiche: wir wollen zeigen, dass wir für ein beliebig kleines Epsilon ab einem Folgeglied so nah dran sind. Und das wird hier durch einen Trick gemacht, der aber eigentlich wirklich nur das ist!

Wir nehmen uns ein kleines \( \epsilon \) her. Bis dahin ist es ein Standard-Konvergenzbeweis. 
Dann gibt es ein \( n_{0} > \frac{1}{\epsilon} \). Das kann man ja erstmal so festhalten, denn es stimmt, irgendeine natürliche Zahl, die das erfüllt gibt es, die kann ja erstmal beliebig groß sein solange wir sie fest wählen. Und das kann man umschreiben als \( \frac{1}{n_{0}} < \epsilon \). Das gilt für ein \( n_{0} \in \mathbb{N}\). 

Dieses ist jetzt ein Folgeglied ab dem wir \( \epsilon\)-nah an dem zu zeigenden Grenzwert dran sind. Das heißt die letzte Form schließlich.

Die letzte Zeile erklärt jetzt, dass wir ab diesem Glied auch die ganze Zeit mindestens \( \epsilon\)-nah am Grenzwert sind. Denn wenn wir die Indizes ab \( n_{0} \) also \( n>n_{0} \) betrachten so sind die zugehörigen Folgeglieder \( \frac{1}{n} \) immer kleiner als \( \frac{1}{n_{0}} \) und damit mindestens genauso nah an der 0.

Du hast also für ein beliebig kleines Epsilon gezeigt, dass es einen Startindex gibt ab dem alle Folgeglieder kleinergleich Epsilon vom Grenzwert entfernt sind. Und das ist die Konvergenz gegen den Grenzwert null.

Ich hoffe es einfach nochmal ausführlich mit Worten zu sagen hat dir geholfen. Du kannst aber gerne auch noch nachfragen.

Viele Grüße, jojoliese