Untersuchen der Abbildung auf Surjektivität und Injektivität.

Aufrufe: 976     Aktiv: 03.08.2021 um 21:22
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Ich habe den Rang der Matrix berechnet, weil soweit ich weiß sagt der Rang einer Matrix etwas über die Injektivität und Surjektivität aus. Wenn rg(A) = m surjektiv und injektiv wenn rg(A) = n und bijektiv wenn beides zutrifft was dann wenn ich mich gerade nicht Irre demnach nur bei einer n x n Matrix der Fall sein kann oder ?

Ich bekomme am Ende folgende Matrix raus wenn ich die gegebene Matrix in Stufenform bringe :

1 2 2

0 -1 0

0 0 0

Also rg(A) = 2 und somit ungleich m und n.

Ich möchte wissen ob ich richtig liege und auch richtig vorgegangen bin und ob es auch andere Methoden gibt dies herauszufinden ich glaube mich erinnern zu können das wenn die dim(Kern) = 0 ist wäre die Abbildung injektiv bzw. wenn im Kern nur der Nullvektor liegt da bin ich mir nur nicht sicher ob das dann Kern = 0 oder Kern = 1 ist.

Wenn ich falsch liege usw. helft mir bitte

Bin wie immer für jede Hilfe dankbar ^^

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1 Antwort
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Du liegst mit allem richtig! Wenn nur der Nullvektor im Kern liegt, dann ist die lineare Abbildung injektiv. Das kann man auch ganz einfach zeigen: $$f(x)=f(y)\Rightarrow f(x)-f(y)=f(x-y)=0\Rightarrow x-y\in \ker f\Rightarrow x-y=0\Rightarrow x=y$$Außerdem ist hier die Stufenform viel zu viel Arbeit,  man erkennt sofort, dass die mittlere Zeile plus die dritte Zeile die erste Zeile ergibt, also Rangverlust!
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Student, Punkte: 10.87K

 
Also wäre nur der Nullvektor im Kern Kern= 0 ? Danke da war ich mir nicht ganz sicher gewesen :D, Ah stimmt hast du recht ^^
   ─   user895a23 03.08.2021 um 17:22
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Genau, eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn sie trivialen Kern hat.   ─   mathejean 03.08.2021 um 17:24
Oh ja! Ist angepasst.   ─   mathejean 03.08.2021 um 18:14
Ok und Kern kann man so auch berechnen dim(Urbild) - Rang = Kern ? Ergo 3-2 = 1 also weder surjektiv noch injektiv   ─   user895a23 03.08.2021 um 18:15
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So ähnlich, es gilt \(\dim(V)-\mathrm{rang}(f)=\dim(\ker f)\). Ich denke aber, du meinst das richtige   ─   mathejean 03.08.2021 um 18:20
Ja so wie ich es geschrieben habe wäre es mathematisch natürlich nicht korrekt aber das habe ich gemeint genau ^^ danke   ─   user895a23 03.08.2021 um 19:12
Ja...   ─   mathejean 03.08.2021 um 21:22

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