Im "Internet" hast du bestimmt folgende Formel für \(|q| < 1\) gefunden: $$\sum_{k=0}^{\infty}q^k=\frac 1 {1-q}$$Dein Professor meint mit \(a_1\) wahrscheinlich einfach nur einen weiteren Faktor vor der Reihe (den du durch Umformung aus der Summe ziehst): $$a_1\cdot \sum_{k=0}^{\infty}q^k=a_1\cdot\frac 1 {1-q}$$

Bei deinem zweiten Beispiel hast du dich verrechnet. Es ist:

\(\displaystyle{\dfrac{1}{25} \cdot \sum_{k=2}^{\infty} \left(\dfrac{2}{5}\right)^k=\dfrac{1}{25} \cdot \left[\sum_{k=0}^{\infty} \left(\dfrac{2}{5}\right)^k -\left(\dfrac{2}{5}\right)^0-\left(\dfrac{2}{5}\right)^1\right] =\ldots }\)

Beim letzten Beispiel gebe ich dir den Tipp den Bruch in der Summe zu zerlegen und die Summe aufzuteilen. Dann kannst du zwei mal die geometrische Reihe verwenden. Also wie folgt:

\(\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n3^{n+1} +2^{n-1}}{12^n} =\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{3\cdot (-3)^n}{12^n} +\dfrac{2^n}{2\cdot 12^n} =3\cdot \sum_{k=0}^{\infty} \left(-\dfrac{1}{4}\right)^n +\dfrac{1}{2} \cdot \sum_{k=0}^{\infty} \left(\dfrac{1}{6}\right)^n=\ldots}\)

Hoffe das hilft weiter.