Vollständige Induktion

Erste Frage Aufrufe: 234     Aktiv: 15.10.2023 um 19:43

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Hat jemand bei den Fragen 8 und 9 ein Ahnung?
Ich hab im Internet nichts über solche Arten von vollständiger Induktion gefunden. Danke!
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Der Hinweis ist m.E. ein bisschen verschwurbelt, und man hat viel Arbeit.
Am Beispiel \(p(n)=1+\ldots+n\) sei demonstiert. wie es ein bisschen schneller geht:
Es ist \(p(n)-p(n-1) \;=\; an^2+bn+c \;-\; (a(n-1)^2+b(n-1)+c) =(2n-1)a + b \).
Nun ein Trick. Die rechte Seite muss man nach Potenzen von n gruppieren, hier also nach
- \(n^1=n\)
- und \(n^0=1\), also konstanter Term.
Das ergibt: \(p(n)-p(n-1) = 2an + (b-a) \;\Rightarrow\; n = 2an + (b-a)\).
Auf beiden Seiten steht ein Polynom von n. Koeffizientenvergleich liefert: \(1=2a,\;0=b-a\)
Hieraus lässt sich a und b bestimmen.
c berechnet man durch Einsetzen von \(n=1\): \(\;p(1)=1^2 \cdot a + 1 \cdot b + c\; \Rightarrow\; c=p(1)-a-b\).

  ─   m.simon.539 15.10.2023 um 19:43
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Du sollst hier erstmal selbst die Behauptung, also das, was nachher per Induktion zu zeigen ist, finden. Dazu brauchst du kein Internet, sondern nur dem Hinweis folgen. Fang also damit an.
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