So dann wollen wir uns mal an die Integrale wagen.
Das Integral wird lösbar durch die Grenzen. Gucken wir uns erstmal das erste Integral an. Wir integrieren zuerst über \( y \). Es gilt
$$ \int\limits_{x=1}^2 \int\limits_{y=0}^{x^{-1}} \frac 3 {e^{x^2}} \cdot \left( \frac 1 3 e^{xy} +x^2 y^2 \right) \mathrm{d}y \mathrm{d}x = \int\limits_{x=1}^2 \frac 3 {e^{x^2}} \left( \int\limits_{y=0}^{x^{-1}} \left( \frac 1 3 e^{xy} +x^2 y^2 \right) \mathrm{d}y \right) \mathrm{d}x $$
Das innere Integral sollte lösbar sein oder?
Wenn du das gelöst hast und die Grenzen einsetzt, kürtzt sich einiges heraus. Zur Kontrolle, ich erhalte:
$$ = \int\limits_{x=1}^2 \frac {e^{1-x^2}} x \mathrm{d} x$$
Das Problem bei diesem Integral ist, das dieses nicht mit "normalen" Integriermethoden gelöst werden kann. Durch die Substitution von \( u = x^2 \) können wir das Integral umformen:
$$ = \frac e 2 \int\limits_1^4 \frac {e^{-u}} u \mathrm{d}u $$
Dieses Integral wird gelöst durch die sogenannte Integralexponentialfunktion. Vielleicht ist doch noch ein Fehler in der Darstellung der Funktion? Oder habt ihr schon mit dieser Funktion gearbeitet? Dann wäre es ja ok.
$$ \frac 1 {e-1} \frac {e^{\frac x {y+1}}} {(y+1)^2} $$
Bei dem zweiten Integral läuft es ähnlich ab. Durch das lösen des ersten Integrals, vereinfacht es sich wieder aber am Ende stehen wir wieder vor fast dem selben Integral nur dieses mal durch die Substitution \( u = \frac y {y+1} \).
Kontrolliere bitte nochmal ob die Aufgabe richtig ist. So haben die Integrale keine elementare Stammfunktion.
Grüße Christian
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$$ \frac 3 {e^{x^2}} \cdot \left( \frac 1 3 e^{xy} + x^2 y^2 \right) $$
und
$$ \frac 1 {e-1} \frac {e^{xy+1}} {(y+1)^2}$$ ─ christian_strack 14.05.2020 um 11:27