Matrizenrechnung

Aufrufe: 79     Aktiv: 03.10.2021 um 17:04

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Liebes Mathefragen-Team,

wie löst man eine Aufgabe von folgendem Aufgabentyp

Sei A = (a b c d e
              g h i  j  k
              0 0 1 0 0)

Berechnen Sie ein 3 x 3-Matrix S, sodass SA =          
(g h 0 j  k
 a b 0 d e
 0 0 1 0 0)  ist?


Gruß Hannah

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Du überlegst dir, was genau die Matrix machen soll:
  1. Vertauschen der 1.ten und 2.ten Zeile
  2. 1./2.Zeile in der 3 Spalte zu Null setzen

Wie sich mit einer Matrix zeilen vertauschen lassen, sollte man vermutlich mal beim Gauß-Algorithmus o.ä. schonmal gesehen lassen, die Matrix hierfür wäre \[S_1 = \begin{pmatrix} 0 &1 &0 \\ 1 & 0 & 0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\]
Für zweiteres benötigen wir die Matrix
\[S_2 = \begin{pmatrix} 1&0&-i\\0&1&-c\\0&0&1 \end{pmatrix}\]
Es gilt nun \(S = S_2 \cdot S_1\).
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Student, Punkte: 960

 

Hallo Posix,

noch eine Nachfrage. Demnach ist S die Einheitsmatrix?

Gruß Hannah
  ─   user74b5b1 03.10.2021 um 15:46

Nein \(S = \begin{pmatrix} 0&1&-i\\1&0&-c\\0&0&1 \end{pmatrix}\)   ─   posix 03.10.2021 um 16:13

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Du kannst es mit der Matrizenmultiplikation lösen und zwar am besten mit dem Falkschen Schema arbeiten. Schreib dafür am besten die 3 x 3 Matrix als \( \begin{pmatrix} x_1  & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \\ z_1 & z_2 & z_3\end{pmatrix} \) . Dann hast du z.b. für \( c_{11} \) folgendes stehen \( c_{11} = a \cdot x_1 + g \cdot y_1 + 0 \cdot z_1\). Das muss dann g sein. Daraus folgt, dass \( x_1 = 0 \space y_1 = 1\). Mit der ersten Zeile hast du bekommst du 6 Elemente der gesuchten Matrix raus. Dann musst du dir noch anschauen, wie du am günstigsten die fehlende Spalte bestimmst.

Übrigens müssen die Matrizen wie folgt aussehen \( \begin{pmatrix} a & g & 0 \\ b & h &0 \\ c & i & 1 \\ d & j & 0 \\ e & k & 0 \end{pmatrix} \)  und \( \begin{pmatrix} g & a & 0 \\ h & b &0 \\ 0 & 0 & 1 \\ j & d & 0 \\ k & e & 0 \end{pmatrix} \) , sonst klappt das nicht mit der Matrizenmultiplikation. Die Anzahl der Spalten der ersten Matrix muss nämlich gleich der Anzahl der Zeilen der 2. Matrix entsprechen.
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\(S\) wird von links multipliziert, das sollte schon so passen in der Angabe.   ─   posix 03.10.2021 um 14:51

Stimmt, dann funktioniert das natürlich auch. Mein Fehler. Dann erhält man \( c_{11} = x_1 \cdot a + x_2 \cdot g\) mit \(c_{11} = a\) und somit \(x_1 =1\) und \(x_2 = 0\).   ─   lernspass 03.10.2021 um 15:00

Und wozu braucht man solche Operationen?

Gruß Hannah
  ─   user74b5b1 03.10.2021 um 15:53

Welche Operationen meinst du?   ─   lernspass 03.10.2021 um 17:04

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