Zu dem Satz: "Durch zwei verschiedene Punkte $P_1$ und $P_2$ gibt es genau eine Gerade $g$" habe ich folgenden Beweis in meinem Skript gegeben:

Seien $(x_1|y_1)$ und $(x_2|y_2)$ zwei verschiedene Zahlenpaare mit $x_1 \neq x_2$. 

Existenz: Vorbetrachtung: 

    $$y=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \cdot (x-x_1)+y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \cdot x+\frac{y_1x_2-x_1y_2}{x_2-x_1}$$

Setze $m:=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ und $b:=\frac{y_1x_2-x_1y_2}{x_2-x_1}$. Dann ergibt sich die Geradengleichung $y=mx+b$. Einsetzen von $x_1$ und $x_2$ zeigt, dass die Gerade durch beide Punkte verläuft ($x=x_1 \Rightarrow y=y_1$ und $x=x_2 \Rightarrow y=y_2$) , also existiert: $y_1=m \cdot x_1+b$ und $y_2=m \cdot x_2+b$ 

Eindeutigkeit: Angenommen $y_1=m \cdot x_1+b$ und $y_2=m \cdot x_2+b$, dann gilt: $$y_2-y_1=m \cdot x_2+b-m \cdot x_1+b=m \cdot (x_2-x_1) \Rightarrow m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

    $$b=y_1-mx_1=y_1-\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \cdot x_1=\frac{y_1(x_2-x_1)}{x_2-x_1}-\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \cdot x_1=$$

    $$\frac{y_1x_2 -y_1x_1-y_2x_1+y_1x_1}{x_2-x_1}=\frac{y_1x_2-x_1y_2}{x_2-x_1}$$

Meine Frage bezieht sich auf den Eindeutigkeitsbeweis. Normalerweise würde ich annehmen, es gäbe eine Geradengleichung der Form $y=mx+b$ und eine weitere Gleichung der Form $y´=m´x+b´$ und würde nachweisen, dass $m=m´$ und $b=b´$ gilt. Im obigen Beweis ist dies allerdings nicht der Fall, daher würde ich mir eine Erklärung wünschen, wie der obige Beweis die Eindeutigkeit von $m$ und $b$ zeigen kann.