Erneute Vollständige Induktion, wie gehe ich in so einer Situation um

Aufrufe: 265     Aktiv: 22.09.2023 um 20:53
0

Ich habe hier eine neue Vollständige Induktion.
Bei mir hackt es nur wieder an einer Kleinigkeit, wie ich damit umgehe.

Aufgabe lautet: 
Beweisen Sie mit vollständiger Induktion die folgende Behauptung:
$$1 + 5 + 25 + ... + 5^{n -1} = \frac{1}{4}(5^n - 1)$$

Mein Vorgehen, siehe Bilder.
An sich bin ich schon bei der richtigen Form wo ich hin muss, aber ich habe eben durch das aufsplitten der Summe noch 3 Summanden. Wie gehe ich damit um?

Mir hängt immer noch im Kopf, das ihr empfohlen habt nicht auszumultiplizieren. Bisher kam ich aber noch nicht zum Ziel ohne auzumultiplizieren. 


Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 18

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
0
Du bist fast fertig, du musst nur $4\cdot 5^n$ richtig verstehen bzw. rechnen.
Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 38.98K

 
Ich hatte da jetzt immer Mal darüber nachgedacht.
Aber so richtig schlüssig ist mir das jetzt nicht.
Weil wenn ich stumpf 4 * 5^n rechne, bleibt es ja 4 * 5^n.
Ich kann da ja keinerlei mir bekannten Potenzgesetze anwenden.
Also so richtig verstehen tue ich noch nicht wie ich da am besten die 20 wegkriege.   ─   usjake 20.09.2023 um 14:22
Was ist denn $20=4\cdot 5^?$ ?   ─   maqu 20.09.2023 um 15:57
20 = 4 * 5^1   ─   usjake 20.09.2023 um 16:09
Rechne mal für n=1,2,3,4 aus, was 4*5^n ist. Dein Ergebnis? Kannst auch mit TR prüfen.   ─   mikn 20.09.2023 um 16:53
Den letzten Schritt denk mal anders, wie viel sind denn $\frac{5^n}{4}+5^n=\frac{1}{4}\cdot 5^n+1\cdot 5^n=\ldots ?$, oder nach deinem ausklammern von $\frac{1}{4}$, was ist $5^n+4\cdot 5^n$?   ─   maqu 20.09.2023 um 21:04
Man kann das ja dann theoretisch ausklammern:
$5^n + 4 \cdot 5^n = 5^n \cdot (1 + 4) = 5^n \cdot 5$   ─   usjake 21.09.2023 um 11:51
Richtig und was ist dann $5^n\cdot 5$?   ─   maqu 21.09.2023 um 13:31
Wäre ja dann $5^{n+1}$   ─   usjake 22.09.2023 um 13:48
Ja, und weiter?   ─   mikn 22.09.2023 um 14:08
Wie und weiter?   ─   usjake 22.09.2023 um 15:52
Na hast du schon die Rechenschritte die du jetzt gemacht hast hinter deinen letzten hochgeladenen Schritt aufgeschrieben, fällt dir da nichts auf? Schau nochmal in die Induktionsbehauptung.   ─   maqu 22.09.2023 um 20:53

Kommentar schreiben