Erneute Vollständige Induktion, wie gehe ich in so einer Situation um

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Ich habe hier eine neue Vollständige Induktion.
Bei mir hackt es nur wieder an einer Kleinigkeit, wie ich damit umgehe.

Aufgabe lautet: 
Beweisen Sie mit vollständiger Induktion die folgende Behauptung:
$$1 + 5 + 25 + ... + 5^{n -1} = \frac{1}{4}(5^n - 1)$$

Mein Vorgehen, siehe Bilder.
An sich bin ich schon bei der richtigen Form wo ich hin muss, aber ich habe eben durch das aufsplitten der Summe noch 3 Summanden. Wie gehe ich damit um?

Mir hängt immer noch im Kopf, das ihr empfohlen habt nicht auszumultiplizieren. Bisher kam ich aber noch nicht zum Ziel ohne auzumultiplizieren. 


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1 Antwort
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Du bist fast fertig, du musst nur $4\cdot 5^n$ richtig verstehen bzw. rechnen.
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Lehrer/Professor, Punkte: 35.54K

 
Ich hatte da jetzt immer Mal darüber nachgedacht.
Aber so richtig schlüssig ist mir das jetzt nicht.
Weil wenn ich stumpf 4 * 5^n rechne, bleibt es ja 4 * 5^n.
Ich kann da ja keinerlei mir bekannten Potenzgesetze anwenden.
Also so richtig verstehen tue ich noch nicht wie ich da am besten die 20 wegkriege.   ─   usjake 20.09.2023 um 14:22
Was ist denn $20=4\cdot 5^?$ ?   ─   maqu 20.09.2023 um 15:57
20 = 4 * 5^1   ─   usjake 20.09.2023 um 16:09
Rechne mal für n=1,2,3,4 aus, was 4*5^n ist. Dein Ergebnis? Kannst auch mit TR prüfen.   ─   mikn 20.09.2023 um 16:53
Den letzten Schritt denk mal anders, wie viel sind denn $\frac{5^n}{4}+5^n=\frac{1}{4}\cdot 5^n+1\cdot 5^n=\ldots ?$, oder nach deinem ausklammern von $\frac{1}{4}$, was ist $5^n+4\cdot 5^n$?   ─   maqu 20.09.2023 um 21:04
Man kann das ja dann theoretisch ausklammern:
$5^n + 4 \cdot 5^n = 5^n \cdot (1 + 4) = 5^n \cdot 5$   ─   usjake 21.09.2023 um 11:51
Richtig und was ist dann $5^n\cdot 5$?   ─   maqu 21.09.2023 um 13:31
Wäre ja dann $5^{n+1}$   ─   usjake vor 6 Tagen, 8 Stunden
Ja, und weiter?   ─   mikn vor 6 Tagen, 8 Stunden
Wie und weiter?   ─   usjake vor 6 Tagen, 6 Stunden
Na hast du schon die Rechenschritte die du jetzt gemacht hast hinter deinen letzten hochgeladenen Schritt aufgeschrieben, fällt dir da nichts auf? Schau nochmal in die Induktionsbehauptung.   ─   maqu vor 6 Tagen, 1 Stunde

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