Super das du das Bild nachgeliefert hast.

Also zunächst zu deiner (vom Lehrer korrigierten) Seitenbezeichnung: die Seite $a$ liegt immer gegenüber dem Punkt $A$. Genauso gilt dies für die Seiten $b$ und $c$. Ich vermute mal das hier auch dein Fehler lag in den resultierenden Berechnungen. An diesem Beispiel kann man gut erkennen, dass eine Skizze nicht maßstabsgetreu ist. Die Seite $b$ ist laut Aufgabenstellung zwar länger als die Seite $c$, aber in der Skizze ist es genau andersrum. Das kann und soll sicherlich auch verwirren. Halte dich da an die von mir oben beschriebene Merkregel, dann sollte zukünftig bei der Bezeichnung auch nichts mehr schief gehen.

Zur Berechnung der Seiten $m,n$ und $k$: Für die Kathete $b$ ergibt sich durch den Kathetensatz die Gleichung $b^2=n\cdot a$. Äquivalent dazu erhältst du eine Gleichung für deine Kathete $c$. Wenn du nun beide Hypotenusenabschnitte $n$ und $m$ ermittelt hast, kannst du mit Hilfe des Höhensatzes auch die Höhe $k$ berechnen. Versuche das einmal. Wenn du Probleme hast, lade gerne wieder ein Bild von deiner Rechnung hoch dann sehen wir weiter.