Erzeugte Sigma-Algebren zu bestimmen, ist im Allgemeinen relativ schwierig. Oft braucht man eine gewisse Vorahnung, wie die Sigma-Algebra aussehen wird. Dafür spielt man am besten mal mit der Ausgangsmenge rum, bildet Vereinigungen und Komplemente und nimmt die Grundmenge hinzu. In den meisten Fällen stellt man beim Rumprobieren dann eine gewisse Gesetzmäßigkeit fest, die man dann beweisen kann.

Bei dieser Aufgabe komme ich nach etwas Rumprobieren auf die Vermutung, dass \( \sigma(E) = Pot(B) \) ist. Zum Beweis ist es klug, erstmal zu zeigen, dass \( \{1\},\{2\},\{3\},\{4\} \in \sigma(E) \) sind, denn daraus lässt sich dann alles weitere zusammenbauen.

Und tatsächlich: Wegen \( \{1\} = (\{1,2\}^C \cup \{1,3\}^C)^C \), \( \{ 2 \} = (\{1,3\} \cup \{1,4\})^C \), \( \{ 3 \} = ( \{1,2\} \cup \{1,4\} )^C \) und \( \{4\} = ( \{1,2\} \cup \{1,3\} )^C \) sind \( \{1\},\{2\},\{3\},\{4\} \in \sigma(E) \).

Damit schließt man nun leicht, dass \( \sigma(E) = Pot(B) \) sein muss, denn jedes \( A \in Pot(B) \) mit \( A \neq \emptyset \) können wir als endliche Vereinigung aus \(\sigma(E)\) schreiben, nämlich als \( A = \cup_{x \in A} \{x\} \); die leere Menge muss dann als Komplement von \(B\) ebenfalls in \( \sigma(E) \) sein.