Hallo,

du hast

$$\sum_{k=1}^{2000} (2k-3) - \sum_{k=0}^{1998} (2k+1)$$

Du musst also erstmal dafür sorgen, dass dein \(k\) auf beiden Seiten bei \(0\) anfängt, indem Du einen Indexshift machst. Weil du statt bei \(1\) bei \(0\) anfängst und dafür nur bis \(1999\) gehst, musst du das \(k\) in der Klammer um eins erhöhen. Damit wieder \(1\) rauskommt, wenn zuerst \(0\) eingesetzt wird:

$$=\sum_{k=0}^{1999} (2(k+1)-3) - \sum_{k=0}^{1998} (2k+1)=\sum_{k=0}^{1999} (2k-1) - \sum_{k=0}^{1998} (2k+1)$$

Jetzt läuft deine erste Summe noch zu weit, also spaltest du einen Summanden aus der Summe ab:

$$=\sum_{k=0}^{1998} (2k-1)+(2\cdot1999-1) - \sum_{k=0}^{1998} (2k+1)$$

Jetzt kannst du alles in eine Summe ziehen und den Summanden ausrechnen:

$$=\sum_{k=0}^{1998} (2k-1-(2k+1))+3997=\sum_{k=0}^{1998} (-2)+3997=1999\cdot(-2)+3997=-1$$

Ich hoffe du hast es jetzt verstanden! :)

Hallo,

ich habe auch noch eine Alternative mit einem zweiten Indexshilft:

Wenn du bei 

$$\sum_{k=0}^{1999} (2k-1) - \sum_{k=0}^{1998} (2k+1)$$

bist, dann kannst du \(k=0\) als Summand abspalten und bekommst eine \(-1\). Da deine Summe wieder zu hoch anfängt musst du nochmal nach unten schieben und bekommst so:

$$\sum_{k=1}^{1999} (2k-1) - \sum_{k=0}^{1998} (2k+1)-1=\sum_{k=0}^{1998} (2(k+1)-1) - \sum_{k=0}^{1998} (2k+1)-1$$

$$=\sum_{k=0}^{1998} (2k+1) - \sum_{k=0}^{1998} (2k+1)-1=-1$$