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Du kannst dir die Funktion auch komponentenweise vorstellen, dann hast du \(f(x,y)=(f_1(x,y),f_2(x,y))\) mit \(f_1(x,y)=xy\) und \(f_2(x,y)=\frac x y\). Die Funktion \(f\) ist dann genau surjektiv/injektiv, wenn \(f_1\) und \(f_2\) surjektiv/injektiv sind. Kommst du jetzt weiter?
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mathejean
Student, Punkte: 10.87K
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Leider nicht wirklich… bei Funktionen wie x^2 verstehe ich es ja aber da nicht
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anonymf76f7
09.09.2021 um 12:18
Fang erstmal mit der Surjektivität an, kannst du mit \(xy\) jede reelle Zahlen treffen: Ja, wähle einfach \(y=1\) und du hast \(f_1(x,1)=\textbf{id}_{\mathbb{R}}\), selbes Prinzip für \(\frac xy \). Bei der Injektivität versuch einfach mal ein Gegenbeispiel zu konstruieren, arbeite hier mit Vorzeichen von \(x\) und \(y\).
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mathejean
09.09.2021 um 12:39
Dankeschön!!!:)
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anonymf76f7
09.09.2021 um 12:43
Die Aussage, dass \(f\) surjektiv/injektiv ist genau dann, wenn \(f_1\) und \(f_2\) surjektiv/injektiv sind, stimmt nicht.
Die Funktion aus dieser Aufgabe liefert hier auch ein Gegenbeispiel. So sind \(f_1\) und \(f_2\) beide surjektiv, die Funktion \(f\colon \mathbb R \times \mathbb R \setminus {0}\to \mathbb R \times \mathbb R \) ist aber nicht surjektiv.
Der Punkt \((1,0)\in \mathbb R\times \mathbb R\) liegt zum Beispiel nicht im Bildbereich der Funktion \(f\). ─ anonym42 09.09.2021 um 19:31
Die Funktion aus dieser Aufgabe liefert hier auch ein Gegenbeispiel. So sind \(f_1\) und \(f_2\) beide surjektiv, die Funktion \(f\colon \mathbb R \times \mathbb R \setminus {0}\to \mathbb R \times \mathbb R \) ist aber nicht surjektiv.
Der Punkt \((1,0)\in \mathbb R\times \mathbb R\) liegt zum Beispiel nicht im Bildbereich der Funktion \(f\). ─ anonym42 09.09.2021 um 19:31
Sie haben recht! Meine Aussage stimmt nur, wenn \(f_1\) und \(f_2\) von unterschiedlichen Variablen abhängt. Danke!
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mathejean
09.09.2021 um 20:26