Question

Beweise, dass für jedes Dreieck ABC und für jede Gerade g die folgenden Aussagen gelten:

Aufrufe: 680 Aktiv: 23.09.2021 um 22:08

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Brauche Hilfe bei b) und c)
Könnten Sie mir das mit Kongruenzsätzen erklären?
Danke

Aufgabe:

Beweise, dass für jedes Dreieck ABC und für jede Gerade g die folgenden Aussagen gelten:
a) Wenn die Gerade g durch den Mittelpunkt B′ der Seite AC verläuft und parallel zur Geraden AB ist,
dann schneidet die Gerade g die Seite BC in deren Mittelpunkt A′
.
b) Wenn die Gerade g durch den Mittelpunkt B′ der Seite AC und den Mittelpunkt A′ der Seite BC verläuft,
dann ist die Gerade g parallel zur Geraden AB.
c) Die Verbindungsstrecke A′B′ des Mittelpunkts A′ der Seite BC und des Mittelpunkts B′ der Seite AC
ist halb so lang wie die Dreieckseite AB

Hinweise:

1. Die Beweise sollten unter Nutzung von Kongruenzsätzen, Eigenschaften von Parallelogrammen, Sätzen zu Winkeln an geschnittenen Parallelen, aber ohne Anwendung von Strahlensātzen erfolgen, da die obigen Aussagen Grundlagen für elementargeometrische Beweise der Strahlensātze sind.

2. Eine Strecke, die die Mittelpunkte zweier Seiten eines Dreiecks verbindet, heißt auch Mittellinie dieses Dreiecks. Die in $\mathrm{b}$ ) und c) zu zeigenden Aussagen sind zusammengefasst der Satz über die Mittellinien im Dreieck:

In jedem Dreieck ist die Mittellinie zweier Seiten parallel zur dritten Seite und halb so lang wie diese.

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gefragt 23.09.2021 um 20:11

janmcjones
Punkte: 10

Ich überlege gerade, was dagegen sprechen würde, das mit Vektoren zu beweisen...? Das müsste doch auch ohne Strahlensätze gehen.. ─ joergwausw 23.09.2021 um 21:54

Ginge es auch mit Kongruenzsätzen ─ janmcjones 23.09.2021 um 21:59

Zu Vektoren ist mir halt zuerst etwas eingefallen. ─ joergwausw 23.09.2021 um 22:02

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1 Antwort

joergwausw · Answer 1 · 2021-09-23T22:07:56Z

Ich gehe mal davon aus, dass Dir die genannten Sätze und Eigenschaften bekannt sind.

Meine Vermutung ist, dass der folgende Trick zum Erfolg führt:
1) Zeichne das Dreieck.
2) Zeichne zur Grundseite die Parallele durch die gegenüberliegende Ecke und ergänze das Dreieck zu einem Parallelogramm.
3) Dieses Parallelogramm hat Diagonalen und Winkel. Und das Dreieck vom Anfang kommt darin auch zweimal vor.

Damit müsste es eigentlich klappen. Probier mal.

(im Endeffekt weiß ich nicht, welche Aussagen und Voraussetzungen tatsächlich benutzt werden dürfen und was noch zu zeigen wäre... und die Lösung solltest Du ja auch selber finden und formulieren - ich hoffe, meine Idee hilft dabei. Schreib dann mal auf, wie weit Du gekommen bist, wenn Du stecken bleibst)