Kräfteberechnung in 3D

Aufrufe: 754     Aktiv: 06.11.2020 um 20:38
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Guten Morgen, habe folgende Aufgabe im Physikunterricht und komme nicht weiter. Habe das Konstrukt im Punkt E freigeschnitten, was muss ich danach machen. Würde mich über einen kompletten und verständlichen Lösungsvorschlag freuen. Vielen Dank euch schonmal im Vorraus!

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Berechne die Vektoren \(\overrightarrow{EA},\overrightarrow{EB},\overrightarrow{EC},\overrightarrow{ED}\) und summiere sie, nachdem Du sie durch Multiplikation mit einer Zahl auf die angegebene Länge (Kraft) gebracht hast. Der Vektor, den Du erhältst, hat als Länge die gesuchte Gesamtkraft. Wenn Du die Symmetrie in der Anordnung berücksichtigst, kannst Du den Rechenweg noch stark abkürzen.

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Verstehe nicht genau, wie ich die Vektoren summieren soll, könntest du das noch genauer erläutern?   ─   andi324 06.11.2020 um 11:17
Vektoren sind durch Koordinaten gegeben. Zwei Vektoren summierst Du, indem Du die jeweiligen Koordinaten summierst, z.B. \[\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5\\4\\-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\7\\-5\end{pmatrix}\].   ─   slanack 06.11.2020 um 11:20
Achso ok. Habe jetzt für EA(6,-4,11) EB(6,4,11) EC(-6,4,11) und ED(-6,-4,11) stimmt das soweit?   ─   andi324 06.11.2020 um 11:34
Nicht ganz. \(a\) und \(b\) geben nach Zeichnung die halben Seitenlängen der Rechtecks vor.   ─   slanack 06.11.2020 um 11:39
Habe nun den Betrag mit Pythagoras ausgerechnet, kommt 328,8kN heraus, stimmt das?   ─   andi324 06.11.2020 um 11:42
Das kann rein überschlagsmäßig schon nicht stimmen, da 4*25kN=100kN die Summe aller Kraftbeträge ist, die wirken. Die resultierende Kraft in E kann höchstens so groß sein.   ─   slanack 06.11.2020 um 13:59
Versuche es mal mit diesem vereinfachten Ansatz: Sei \(M\) der Mittelpunkt des Rechtecks oberhalb der Plattform, auf der das Auto steht. Berechne das Verhältnis der Beträge von \(\overrightarrow{EM}\) und \(\overrightarrow{EA}\) und nenne es \(\alpha\). Dann hat die senkrechte Komponente des Kraftvektors in Richtung \(\overrightarrow{EA}\) den Betrag \(\alpha\cdot 25\text{kN}\) (warum?). Wenn man jetzt alle Kraftvektoren addiert, dann heben sich alle waagerechten Komponenten gegenseitig auf, wegen der Symmetrie, und die senkrechten Komponenten addieren sich. Da sie alle gleich sind (Symmetrie!), kommt also das Vierfache des Betrags der senkrechten Komponente des Kraftvektors in Richtung \(\overrightarrow{EA}\) als Ergebnis raus.   ─   slanack 06.11.2020 um 14:07
Komme so auf 120kN, das kann ja auch nicht sein.   ─   andi324 06.11.2020 um 19:28
Ok, ich rechne es Dir nach meiner vorigen Erklärung vor: Der Betrag von \(\overrightarrow{EM}\) ist 11, und der Betrag von \(\overrightarrow{EA}\) ist nach Pythagoras \(\sqrt{4^2+6^2+11^2}=\sqrt{173}\). Also ist \(\alpha=11/\sqrt{173}\). Die resultierende Kraft in \(E\) ist also \(4\cdot\alpha\cdot25\text{kN}\approx83.63\text{kN}\).   ─   slanack 06.11.2020 um 20:38

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Hi,

ich würde das folgendermaßen lösen:

1) Berechne die Hypothenuse des Dreickes in der Grundfläche "a  b c1"

Hypo_c1 = Wurzel(a²+b²)

2) Berechne die Hypothenuse vom aufgestellten Dreieck "c c1 EB"

Hypo_EB = Wurzel(c² + Hypo_c1²)

3) Berechne den Winkel alpha welcher zwischen den Vektor FEB und c auftritt

cosinus alpha = c / Hypo_EB 

4) Fasse nun die Kräfte Fea und Fec sowie Feb und Fed zu einen jeweilig resultierenden Vektor zusammen

Fr1 = Wurzel(Fea² + Fec² + 2 * Fea * Fec * (cos(alpha) * 2))
Fr2 = ... ähnlich zu Fr1 nur eben mit Feb und Fed

... "cos(alpha) * 2" ... Es wird hier mit mal 2 multipliziert weil wir den Winkel von Fea zu Fec bzw. von Feb zu Fed benötigen 

5) Fr1 und Fr2 zeigen nun in die selbe richtung ( entlang von c). Somit kannst du sie addieren

Fr = Fr1 + Fr2
Da die Kräfte alle den selben Betrag haben und unter den selben Winkel einwirken kannst du auch schreieben Fr = 2 * Fr1

Edit: Zum besseren Verständnis ... Hier eine Skizze:

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Bei 4) Muss ich die 25kN mit cos(33) multiplizieren um FEB' zu erhalten richtig?   ─   andi324 06.11.2020 um 14:38
Zu 4) Ich habe mir das selber nochmal ansehen müssen. Siehe dazu https://www.maschinenbau-wissen.de/skript3/mechanik/kinetik/275-kraft-berechnen Abschnitt "Kräfte unter einem Winkel berechnen". Dazu würde ich die Kraft Fea mit Fec und Feb und Fed zusammenführen und die daraus resultierenden Kräfte entsrchend der vorgabe aus den Link berechnen. Da die beiden Kräfte danach in die selbe Richtung zeigen kannst du sie einfach addieren. Achtung du musst hier 2*alpha nehmen weil wir hier den Winkel von Kraft 1 zu Kraft 2 benötigen und nicht wie zuvor zu Fr.   ─   anai 06.11.2020 um 15:25
Kann dir leider nicht ganz folgen.   ─   andi324 06.11.2020 um 15:28
Ich hab die Antwort nochmal überarbeitet   ─   anai 06.11.2020 um 15:34
Ich hab es ausgerechnet Fr sollte in etwa bei 1253kN liegen   ─   anai 06.11.2020 um 16:02
1253kN kann niemals sein. Der Betrag von Fr muss unter 100kN sein!   ─   markus.merk 06.11.2020 um 18:21

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