Da die vorherige Antwort nicht ganz korrekt war, schreibe ich hier mal eine (hoffentlich) richtige Lösung.

Für die Erlösfunktion gilt \( E(x,y) = 8x + 6y \) und somit ergibt sich für die Gewinnfunktion \( G(x,y) = E(x,y) - K(x,y) = 8x+6y-(x^2-2xy+2y^2-10x+15) = 18x+6y-x^2+2xy-2y^2-15\).

Wir suchen nun kritische Punkte für (lokale) Extrema über die notwedige Bedingung \( dG(x,y) = 0 \). Dazu setzen wir die partiellen Ableitungen \( \frac{ \partial G(x,y)}{ \partial x} = 18-2x+2y \) und \( \frac{ \partial G(x,y)}{ \partial y} = 6+2x-4y \) gleich Null. Dies liefert das lineare Gleichungssystem \( \begin{vmatrix} 18-2x+2y=0 \\ 6+2x-4y=0 \end{vmatrix} \) mit der (eindeutigen) Lösung \( (x,y) = (21,12) \).

Ob im Punkt \( (21,12) \) tatsächlich das gewünschte Maximum vorliegt, prüfen wir mit der hinreichende Bedingung \( H_G(21,12) < 0 \). Dazu schauen wir uns die zweiten partiellen Ableitungen \( \frac{ \partial G(x,y)}{ \partial x^2} = -2 \), \( \frac{ \partial G(x,y)}{ \partial x \partial y} = 2 = \frac{ \partial G(x,y)}{ \partial y \partial x} \) und \( \frac{ \partial G(x,y)}{ \partial y^2} = -4 \) an. Diese liefern für die Hessematrix \( H_G(21,12) = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} \). Und wegen \( -2 < 0 \) und \( det(H_G(21,12))=4>0 \) ist die Hessematrix in \( (21,12) \) negativ definit; es liegt dort also tatsächlich ein Maximum vor.

Die gewinnmaximierenden Produktionsmengen liegen also bei \( x = 21 \) und \( y = 12 \). Der maximale Gewinn beträgt \( G(21,12) =  210 \) Euro.