Integrationsgrenzen bei Kugelkoordinaten

Aufrufe: 618     Aktiv: 01.06.2022 um 22:19
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Hallo liebe Community,
Habe folgendes Beispiel gegeben:



Das Beispiel an sich habe ich schon gelöst, nur grübel ich bei der Theorie bei der Wahl der Integrationsgrenzen noch etwas.

Das φ ist für mich klar. Da sind die Grenzen 0 bis 2π.

Beim r sind die Grenzen 1 bis 2. Ich weiß das r als Wurzel aus x²+y²+z² definiert ist. Deshalb nehme ich an, wenn ich die Wurzel aus der oben gegebenen Bedigung ziehe bekomme ich quasi 1 <= Wurzel(x²+y²+z²) <= 2. Liege ich da richtig?

Beim  ϑ bin ich mir wieder unsicher. Die Grenzen sind 0 bis π/4. Durch das z² >= x² +y² beschränke ich mich ja auf einen Kegel in der oberen Halbkugel. Aber warum jetzt nur bis π/4?

Vielleicht könnte mir hier jemand etwas weiterhelfen, wie ich vom gegebenen Bereich auf die Grenzen komme.

Vielen Dank schonmal :)
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Moin,
bei einer ganzen Kugel integriert man von bei \(\theta\) von 0 nach \(\frac{\pi}{2}\), sonst würde sich das Volumen doppeln, das kannst du dir so vorstellen, als wenn \(\phi\) den ganzen Umfang in der xy Ebene abdecken und \(\theta\) den Winkel in z-Richtung. Mach dir am besten eine Skizze, um den Schaverhalt besser nachvollziehen zu können.
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Deshalb nehme ich an, wenn ich die Wurzel aus der oben gegebenen Bedigung ziehe bekomme ich quasi 1 <= Wurzel(x²+y²+z²) <= 2. Liege ich da richtig? 
Ja das ist soweit Richtig

Zu den Grenzen von $\theta$: 
$\theta$ bezieht sich ja auf den Winkel in der z-Richtung, bei einer ganzen Kugel 0-180° also 0-$ \pi$ bei einer Halbkugen sind es dann nur 0-90° also 0-$\frac{\pi}{2}$.
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