Die Oberfläche der Pyramide setzt sich aus fünf Flächen zusammen: Die quadratische Grundfläche und vier mal die dreieckige Seitenfläche.

Die quadratische Grundfläche nenne ich \(A_Q\) und die Dreicksfläche \(A_D\). Das bedeutet, die Oberfläche \(A_O\) ist die Summe aus

\(A_O=A_Q+4*A_D\)

Jetzt müssen wir nurnoch die Formeln für die Teilflächen finden. Die Fläche eines Quadrates mit der Seitenlänge \(a\) ist

\(A_Q=a*a=a^2\)

Die Fläche eines Dreiecks ist Grundseite mal Höhe geteilt durch zwei. Die Grundseite des Dreicks ist die Seitenlänge \(a\) des Quadrates.

Die Höhe des Dreiecks wird in der Aufgabe \(h_s\) genannt. Jetzt hast du auch die Formel für die Dreiecksfläche.

\(A_D=\frac{\text{Grundseite}*\text{Höhe}}{2}=\frac{a*h_s}{2}\)

Jetzt können wir alles in die Formel für die Oberfläche einsetzten:

\(A_O=A_Q+4*A_D=a*a+4*\frac{a*h_s}{2}\)

Hier kannst du ein \(a\) ausklammern und die \(4\) mit der \(2\) im Bruch kürzen.

\(A_O=a*(a+2*h_s)\) 

Isolieren bedeutet, dass du nach der gesuchten Variable umstellst, sodass diese allein auf einer Seite steht.

Nach \(h_s\) isolieren:

Die Klammer ausmultiplizieren und dann umformen:

\(A_O=a^2+2*a*h_s\)    \(|-a^2\)

\(A_O-a^2=2*a*h_s\)    \(|:2a\)

\(\frac{A_O-a^2}{2a}=h_s\)

Nach \(a\) isolieren:

\(A_O=a^2+2*a*h_s\)                 \(|+h_s^2\)

\(A_O+h_s^2=a^2+2ah_s+h_s^2\)

Hier siehst auf der rechten Seite eine Binomische Formel

\(A_O+h_s^2=(a+h_s)^2\)            \(|\sqrt{...}\)

\(\pm\sqrt{A_O+h_s^2}=a+h_s\)         \(|-h_s\)

\(\pm\sqrt{A_O+h_s^2}-h_s=a\)

Aufgabe 11:

Die Seitenkante \(s\) berechnest du in zwei Schritten mit dem Satz des Pythagoras.

Zuerst musst du die Strecke \(b\) vom Mittelpunkt der Grundfläche zu einer der Ecken ausrechnen. Diese Strecke ist die Hälfte der Diagonalen \(d\) des Quadrats.

Die Diagonale ist mit dem Satz des Pythagoras:

\(d^2=a^2+a^2=2a^2\) und somit \(d=\sqrt{2a^2}=\sqrt{2}a\)

Daraus folgt:

\(b=\frac{d}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}*a\)

Jetzt kannst du über die Höhe der Pyramide mit dem Satz des Pythagoras die Seitenkante \(s\) bestimmen:

\(s^2=h^2+b^2=h^2+(\frac{\sqrt{2}*a}{2})^2=h^2+\frac{a^2}{2}\)

\(s=\sqrt{h^2+\frac{a^2}{2}}\)

Hier kannst du deine gegebenen Werte einsetzen:

\(s=\sqrt{7^2+\frac{8^2}{2}}=9\text{cm}\)

Die Seitenhöhe \(h_s\) berechnest du ebenfalls mit dem Satz des Pythagoras:

\(h_s^2=h^2+(\frac{a}{2})^2\)

\(h_s=\sqrt{h^2+\frac{a^2}{4}}\)

Mit eingesetzten Werten:

\(h_s=\sqrt{7^2+\frac{8^2}{4}}=8.1\text{cm}\)

Die Mantelfläche ist 

\(A_M=4*A_D=4*\frac{a*h_s}{2}=2*a*h_s\)

\(A_M=2*8*8.1=129.6\text{cm}^2\)

Die Oberflächenformel haben wir oben bereits hergeleitet:

\(A_O=a*(a+2*h_s)\)

\(A_O=8*(8+2*8.1)=193.6\text{cm}^2\)