Rekursive Definition mit Induktionsbeweis

Erste Frage Aufrufe: 94     Aktiv: 22.04.2021 um 01:20

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kann mir jemand hier weiterhelfen? Ich habe sowas noch nie gemacht....bzw. habe noch nie eine rekursive Defintion mittels Induktion beweisen müssen zuvor. 

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Überprüfe zuerst, dass die angegebene Formel für \(n=1\) und \(n=2\) stimmt (Wir brauchen hier zwei Induktionsanfänge, da wir die rekursive Formel erst ab \(n=3\) anwenden können). Angenommen, es gilt \(a_k=3\cdot2^{k-1}+2(-1)^k\) für alle \(k\leq n\) für ein festes \(1<n\in\mathbb N\). Dann ist $$a_{n+1}=a_n+2a_{n-1}\overset{IV}=3\cdot2^{n-1}+2(-1)^n+2(3\cdot2^{n-2}+2(-1)^{n-1})=\ldots=3\cdot2^{(n+1)-1}+2(-1)^{n+1},$$ wobei du die Rechnung an der Stelle mit den \(\ldots\) ergänzen musst.
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Vielen vielen Dank für die detaillierte Beschreibung/Ausarbeitung! Einfach spitze! :-)   ─   user30bf1e 21.04.2021 um 17:23

Ich habe eine kurze Frage:

Muss ich diesen Teil hier aus multiplizieren, oder?
2(3 * 2^n-2 + 2(-1)^n-1)

Wenn ja, dann ergibt das dann:

4 *(-1)^n-1 + 6 * 2^n-2

Bin ich da richtig? :-)
  ─   user30bf1e 21.04.2021 um 19:38

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Fast. Du musst das ausmultiplizieren, aber nicht so, wie du es gemacht hast. Waarum wird hinten das \(-1\) zu einem \(-2\)? Da bräuchtest du nach Potenzgesetzen ja \(n-1\) viele Faktoren von \(2\). Und vorne musst du entweder die 3 zu einer 6 verdoppeln oder den Exponenten um 1 erhöhen, die Basis darfst du aber nicht verdoppeln, denn \(2\cdot (2\cdots2)\neq(4\cdots4)\). Richtig wäre also \(3\cdot2^{n-1}+4(-1)^{n-1}\).   ─   stal 21.04.2021 um 19:53

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