Gerechnet ist (fast) alles richtig, das ist schonmal sehr gut.
Bei solchen Aufgaben braucht man nur drei Fälle: Man überlegt sich, an welchen Stellen die Betragsdefinitionen "umspringen", das sind hier bei 1 und -3. Diese beiden Stellen teilen die Zahlengerade in drei Bereiche ein, das sind dann die Überschriften für die Fälle. Also schonmal ein Fall weniger zu rechnen.
Dein Fall2 tritt auch gar nicht ein, denn \(x\ge 1 \land x<-3\) schließen sich gegenseitig aus, also hier wäre \(L_2=\emptyset\): =-Zeichen hinter den L-Mengen bitte nicht vergessen.
Fall1: Bedingung \(x>1\land x>-3\), also \(x>1\). Ungleichung liefert \(x<3\), also \(L_1=(1,3)\).
Fall3: Bedingung \(x\in (-3,1)\). Ungleichung liefert \(8>4\), was für alle x erfüllt ist (oder findest Du ein x, was die Aussage \(8>4\) falsch werden lässt?). Also: \(L_3=(-3,1)\).
Fall4: Ungleichung liefert \(x>-5\). Rechne den Rest mal selbst.

Schreibweise: \(L=\{x<3\}\) ist eine einelementige Menge, dieses Element ist ein Ungleichung. Du meinst: \(L=\{x | x<3\}\). Am einfachsten ist die Schreibweise mit Intervallen.
Für die Bedingungen und Mengen immer an der Zahlengerade orientieren.
Ich hab oben meist \(>\) geschrieben, aus Bequemlichkeit. Die Fehler mit = kann man, so wie Du es gemacht hast, zu den anderen dazu packen, macht an der Rechnung nichts aus.

Es ist, wie du es versucht hast, empfehlenswert  sich auf der x-Achse die relevanten Intervalle zu markieren.
Es passiert etwas bei x=-3 und x =1. Also musst du die 3 Intervalle \((-\infty ; -3) ; [-3 ;+1)] ; /1 ; +\infty)\).
Im 1 Intervall folgt für die obige Relation : 8 > -(x-1) -(x+3)= -2x -2 ==> 10> -2x ==> x >-5.
Analog für die beiden anderen Intervalle.