Sei K ein endlicher Körper, d.h. |K| < ∞. Zeigen Sie, dass es eine Primzahl p ∈ ℙ gibt mit:

(a) K enthält einen Körper, der (als Ring) zu F_p isomorph ist.

(b) K ist ein endlich dimensionaler F_p - Vektorraum.

(c) |K| = p^k für ein k ∈ ℕ.

Meine Ansätze:

(a) Ist p > 0, so ist Φ (ℤ) der kleinste Unterkörper von K. Er ist isomorph zu zum Körper F_p := ℤ/pℤ.

Bew.: Offenbar ist Φ: ℤ → K mit n → n · 1_K ein Ringhomomorphismus. Weil Φ (1) = 1_K für jeden Ringhomomorphismus Φ: ℤ → K gilt, ist Φ eindeutig bestimmt. Da K ein Integritätsring ist, ist auch Φ(ℤ) ⊆ K ein Integritätsring. Wegen Φ(ℤ) ≅ Z/Kern(Φ) ist Kern(Φ) ein Primideal von ℤ. Es folgt Kern(Φ) = {0} oder Kern(Φ) = pℤ mit einer Primzahl p. Da jeder Unterkörper von K das Einselement 1_K enthalten muss, muss er auch Φ(ℤ) enthalten, woraus die Behauptung folgt.

(b) Hier fehlt mir ein Ansatz.

(c) Es sei ℙ der Primkörper von K. Wäre nun char(K) = 0, so wäre ℙ ≅ ℚ, damit also |K| =∞. char(K) = p für eine Primzahl p und ℙ ≅ ℤ/pℤ. Wegen K < ∞ ist außerdem [K:ℙ] = k∈ ℕ. Also ist K ein Vektorraum der Dimension m über ℙ mit einer Basis B ={γ₁ , ..., γ_k }. Es ist K = {a₁ γ₁ + ... + a_k γ_k : a_i  ∈ ℙ} die Menge aller Linearkombinationen der γ₁ , ..., γ_m . Jeder Koeffizient a_i kann p Werte annehmen, woraus |K| = p^k folgt.