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Sei K ein endlicher Körper, d.h. |K| < ∞. Zeigen Sie, dass es eine Primzahl p ∈ ℙ gibt mit:

(a) K enthält einen Körper, der (als Ring) zu Fisomorph ist.

(b) K ist ein endlich dimensionaler Fp - Vektorraum.

(c) |K| = pfür ein k ∈ ℕ.

Meine Ansätze:

(a) Ist p > 0, so ist Φ (ℤ) der kleinste Unterkörper von K. Er ist isomorph zu zum Körper Fp := ℤ/pℤ.

Bew.: Offenbar ist Φ: ℤ → K mit n → n · 1K ein Ringhomomorphismus. Weil Φ (1) = 1K für jeden Ringhomomorphismus Φ: ℤ → K gilt, ist Φ eindeutig bestimmt. Da K ein Integritätsring ist, ist auch Φ(ℤ) ⊆ K ein Integritätsring. Wegen Φ(ℤ) ≅ Z/Kern(Φ) ist Kern(Φ) ein Primideal von ℤ. Es folgt Kern(Φ) = {0} oder Kern(Φ) = pℤ mit einer Primzahl p. Da jeder Unterkörper von K das Einselement 1K enthalten muss, muss er auch Φ(ℤ) enthalten, woraus die Behauptung folgt.

(b) Hier fehlt mir ein Ansatz.

(c) Es sei ℙ der Primkörper von K. Wäre nun char(K) = 0, so wäre ℙ ≅ ℚ, damit also |K| =∞. char(K) = p für eine Primzahl p und ℙ ≅ ℤ/pℤ. Wegen K < ∞ ist außerdem [K:ℙ] = k∈ ℕ. Also ist K ein Vektorraum der Dimension m über ℙ mit einer Basis B ={γ1 , ..., γk }. Es ist K = {a1 γ1 + ... + ak γk : a ∈ ℙ} die Menge aller Linearkombinationen der γ, ..., γm . Jeder Koeffizient ai kann p Werte annehmen, woraus |K| = pk folgt.

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Die (a) ist gut, bei der (b): Es ist klar, dass $K$ mit seiner addition eine abelsche Gruppe ist, und $\mathbb F_p\times K\to K,(a,b)\mapsto ab$ definiert eine Skalarmultiplikation, die alle gefoderten Eigenschaften hat, weil die Multiplikation auf $K$ diese Eigenschaften hat. Also ist $K$ ein $\mathbb F_p$-Vektorraum. Währe $\dim_{\mathbb F_p}(K)=\infty$, wäre auch $|K|=\infty$, also ist $K$ endlich-dimensional.
Bei der (c) kannst du dir jetzt die erste Hälfte des Arguments sparen, da du das in (b) schon gezeigt hast, insbesondere brauchst du Begriffe wie Primkörper oder den Grad einer Körpererweiterung nicht, du kannst direkt mit der Wahl der Basis anfangen.
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