Variable so wählen, dass Vektoren linear abhängig sind

Aufrufe: 611     Aktiv: 03.07.2021 um 18:08
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Einer meiner drei Vektoren hat eine Variable enthalten und ich soll diese Variable so bestimmen, dass die Vektoren linaer abhängig zueinander sind. Wie macht man das genau?
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Bringe die Matrix mit den Vektoren als Spalten in Zeilenstufenform und wähle den Parameter so, dass es zum Rangverlust kommt. Alternativ Determinante gleich \(0\) setzen.
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Bei drei Vektoren hast du mit Sicherheit keinen Rang von 4, wie sieht deine Zeilenstufenform aus?   ─   mathejean 03.07.2021 um 16:55
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Okay, dann bring die Matrix mit den Vektoren als Spalten mal in Zeilenstufenform! Oder mach das mit der Determinante   ─   mathejean 03.07.2021 um 17:06

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Da Du drei Vektoren hast, nehme ich einmal an, dass Dein Koordinatensystem auch dreidimensional ist.

Lineare Abhängigkeit bedeutet ja, dass Du den Vektor mit der Variable drin als Linearkombination der beiden anderen schreiben kannst. Also zum Beispiel
$$
\lambda\cdot \left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)
+\mu\cdot \left(\begin{array}{c}4\\5\\6\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}a\\12\\15\end{array}\right)
$$
Wenn Du diese Gleichung als Gleichungssystem aufschreibst und eine eindeutige Lösung findest, dann hast Du automatisch auch $a$ bestimmt. Wenn es keine Lösung für das LGS gibt, dann gibt es keinen Wert für $a$ mit dem es zur linearen Abhängigkeit kommt. Und wenn es unendlich viele Lösungen gibt, dann ist eh alles egal...

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Wenn dabei nur eine Variable vorkommt, dann schon.   ─   joergwausw 03.07.2021 um 16:57

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