Aus der Bernoullischen Ungleichung hat man für alle x: \(1+x\le e^x\). Herleitung hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Bernoullische_Ungleichung#Exponentialfunktion

Wenn man das einmal für h und einmal für -h verwendet (\(h=\Delta x\)), erhält man: \(1+h\le e^h\le \frac1{1-h}\). Daraus folgt:

\(h\le e^h-1\le \frac{h}{1-h}\), also \(1\le \frac{e^h-1}h\le \frac1{1-h}\), Nun auf allen drei Seiten \(h\to 0\) gibt das gewünschte.

Du darfst doch sicherlich die Reihendarstellung der \(e\)-Funktion zur Hilfe nehmen. Schau dir die Reihe mal in ihren einzelnen Gliedern in einer Nebenrechnung an:

\(e^x =\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{x^k}{k!} =1+\dfrac{x}{1!} +\dfrac{x^2}{2!} +\dfrac{x^3}{3!} +\ldots}\)

\(\Longrightarrow e^x-1 =x+\dfrac{x^2}{2!} +\dfrac{x^3}{3!} +\ldots\)

\(\Longrightarrow \dfrac{e^x-1}{x} =1+\dfrac{x}{2!} +\dfrac{x^2}{3!}+\ldots\)

Somit gilt also folgendes Grenzwertverhalten:

\(\underset{x\longrightarrow 0}{\lim} \dfrac{e^x-1}{x} =1+0+0+\ldots =1\)

Damit ergibt sich für den Differentialquotienten der Funktion \(f(x)=e^x\) im Punkt \(x_0=0\):

\(f'(0)=\underset{h\longrightarrow 0}{\lim} \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h} =\underset{h\longrightarrow 0}{\lim} \dfrac{e^h-1}{h} =1=e^0\)

Hoffe das hilft weiter.

l'Hospital: Nenner-Ableitung ist doch 1 oder?

Du kannst auch ohne de l'Hospital auskommen, denn es gilt die Reihe \(e^x = 1 + x + o(x) \), wobei o(x) ein Ausdruck ist, der auch nach Dividion durch x für x->0 noch gegen null geht. Siehe mein Video zum Differenzialquotienten lernplaylist Differenzialrechnung. Wende dies auf x=Delta x an, und das Ergebnis steht sofort da.

vll. über die Definition von e = lim n->oo von (1+1/n)^n und den Differentialquotienten:  wenn man 1/n durch delta x ersetzt, ergibt sich


lim delta x->0 von  (e^delta x - 1) / delta x   =  lim delta x ->0 von (((1 + delta x)^1/delta x)^delta x  -  1) / delta x  (kann's grad selbst nicht mehr lesen)
vereinfacht ergibt der Term dann delta x / delta x und damit 1

irgendso ähnlich war doch die Herleitung der Ableitung von e^x