$$\text{ Bestimme } \tan(\beta)$$

Aufrufe: 114     Aktiv: 13.05.2024 um 18:18

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$$\text{Aufgabe: Sei } ABC \text{ ein Dreieck in der euklidischen Ebene } E^2, \text{ sodass im Folgenden gilt  } \angle DAC = \frac{\pi}{6} \text{ und sowie } \angle ADC = \frac{3\pi}{4}. \text{ Sei } B \text{ der eindeutige Punkt auf } AD \text{ mit } B \neq A \text{ und } |AD| \equiv |DB|.$$  $$\text{ Bestimme } \tan(\beta) = \tan(\angle ABC).$$Hinweis:
$$\sin\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$$
Mein Stand:
Da die Winkelsumme $\pi$ beträgt und dann das Dreieck $ADC$ betrachtet wird, kommen wir auf $\frac{\pi}{12}$ beim Punkt $C$.  Mit dem Sinussatz könnte man dann weiterarbeiten, allerdings bin ich damit nicht wirklich zum Ziel gekommen. Meine Vermutung mit dem Sinussatz folgt aus dem Hinweis $\sin\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
 
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Moin,

ich glaube den Sinussatz braucht man tatsächlich. Außerdem muss man alle Informationen die man hat nutzen - insbesondere die Tatsache dass die Strecke AD gleich der Strecke DB ist. Sei $\gamma_1$ der letzte Winkel im linken Dreieck, den du bereits korrekt als $\frac{\pi}{12}$ bestimmt hast. Dann folgt aus dem Sinussatz, dass $$\frac{AD}{\sin(\gamma_1)}=\frac{DC}{\sin(\frac{\pi}{6})}$$im linken Dreieck und $$\frac{DB}{\sin(\gamma_2)}=\frac{DC}{\sin(\beta)}$$wobei $\gamma_2$ der Winkel BCD ist. Weil $DB=AD$ und $\gamma_1+\gamma_2+\beta+\frac{\pi}{6}=\pi$, d.h. $\gamma_2=\frac{3\pi}{4}-\beta$ folgt $$\frac{\sin{\gamma_1}}{\sin(\frac{\pi}{6})}=\frac{\sin(\frac{3\pi}{4}-\beta)}{\sin(\beta)}$$Jetzt nutzt man $\sin(x-y)=\cos(y)\sin(x)-\cos(x)\sin(y)$ um $\tan{\beta}$ zu berechnen.

LG
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