Moin,

ich glaube den Sinussatz braucht man tatsächlich. Außerdem muss man alle Informationen die man hat nutzen - insbesondere die Tatsache dass die Strecke AD gleich der Strecke DB ist. Sei $\gamma_1$ der letzte Winkel im linken Dreieck, den du bereits korrekt als $\frac{\pi}{12}$ bestimmt hast. Dann folgt aus dem Sinussatz, dass $$\frac{AD}{\sin(\gamma_1)}=\frac{DC}{\sin(\frac{\pi}{6})}$$im linken Dreieck und $$\frac{DB}{\sin(\gamma_2)}=\frac{DC}{\sin(\beta)}$$wobei $\gamma_2$ der Winkel BCD ist. Weil $DB=AD$ und $\gamma_1+\gamma_2+\beta+\frac{\pi}{6}=\pi$, d.h. $\gamma_2=\frac{3\pi}{4}-\beta$ folgt $$\frac{\sin{\gamma_1}}{\sin(\frac{\pi}{6})}=\frac{\sin(\frac{3\pi}{4}-\beta)}{\sin(\beta)}$$Jetzt nutzt man $\sin(x-y)=\cos(y)\sin(x)-\cos(x)\sin(y)$ um $\tan{\beta}$ zu berechnen.

LG