1. Hauptsatz der Differential und Integralrechnung.

Aufrufe: 96     Aktiv: 19.03.2021 um 02:36

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Hey, 
Im folgenden Beweis (siehe Fotos) verstehe ich die Begründung nicht, warum der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert. 
Den Rest vom Beweis verstehe ich. 

Was mich auch bisschen verwirrt ist das t bei F(x) = \(\int_a^x f(t) dt\). Ich fasse das so auf, dass f eine Funktion ist in einem Koordinatensystem mit t an der  Abszisse. Allerdings steht überall ein x für die Abszisse? Irgendwie passt das doch nicht so recht?




Mit Mittelwertsatz ist der Mittelwertsatz der Integralrechnung gemeint.
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Es ist der MWS der Differentialrechnung gemeint, nicht der Integralrechnung.   ─   cauchy 17.03.2021 um 19:56

Nein, es ist definitiv der Mittelwertsatz der Integralrechnung gemeint: Zu einer stetigen Funktion f: [a, b] \(\to\) R gibt es z \(\in\) [a, b] mit \(\int_a^b f(x) dx \) = \(f(z)(b-a)\)
Und das macht auch Sinn, weil man auf den Term \(\frac{1}{x-x_0}\) \(\int f(t)dt\) von \(x_{0}\) bis \(x\) als Grenzen den Mittelwertsatz der Integralrechnung anwendet und man dann \(\frac{1}{x-x_0}\)\(f(z)(x-x_{0}\)) erhält wo sich der Nenner rauskürzt und man dann nur noch \(f(z)\) hat.
  ─   sorcing 17.03.2021 um 20:34

In der Formel, die dort steht, kommen aber keine Integrale vor. Der MWS der Differentialrechnung besagt aber, dass es eine Zwischenstelle in einem Intervall \([a,b]\) gibt, so dass \(\frac{f(a)-f(b)}{a-b}=f'(z)\) gilt. Passt hier definitiv besser.   ─   cauchy 17.03.2021 um 20:38

Hmm ok, jetzt weiß ich was du meinst.
Im Buch wird \(\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}\) umgeformt zu \(\frac{1}{x-x_0}\) \(\int f(t)dt\) und dann darauf der MWS der Integralrechnung angewendet.
Um den Mittelwertsatz der Differentialrechnung anwenden zu können, muss \(F\) auf (\(x\), \(x_{0}\)) differenzierbar sein. Wir wissen aber noch gar nicht ob \(F\) differenzierbar ist, wir wollen ja zeigen, dass \(F´(x)\) = \(f(x)\) ist.
  ─   sorcing 17.03.2021 um 21:45

Ja, hast Recht. Sehe es jetzt auch. Durch die beiden verschiedenen Bilder fehlte ein wenig der Überblick.   ─   cauchy 17.03.2021 um 21:54

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1. Der Grenzwert existiert, weil \(f\) stetig ist \(f(z)\rightarrow f(x_0)\). Wenn du jetzt aber für \(f(z)\) den Differenzenquotienten einsetzt, folgt der Ausdruck unten. Du kannst aber \(z\rightarrow x_0\) durch \(x\rightarrow x_0\) ersetzen, da beides gegen 0 geht, was die Abschätzung zeigt. 

2. Im Ausdruck \(F(x)=\int\limits_a^x \!f(t)\,\mathrm{d}t\) ist das \(t\) die Integrationsvariable und das \(x\) die Variable der Funktion \(F\). Es spielt keine Rolle, ob man \(f(x), f(t), f(u), f(z)\) oder  \(f(whatever)\) schreibt. Es ist letztendlich nur der Name der Variable. In der Regel nutzt man natürlich \(x\). In vielen Anwendungen verwendet man aber auch \(t\), da \(t\) dann für die Zeit (engl. time) steht. Auf der Abzisse steht dann entsprechend die gewählte Variable.
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ok danke. 1) Hab ich super verstanden jetzt.
Bei 2) muss ich nochmal nachhacken. Es ist also egal, ob da steht \(F(x)\) = \(\int_a^x f(t)dt\) oder \(F(x)\) = \(\int_a^x f(x)dx\), bzw es gilt: \(\int_a^x f(t)dt\) = \(\int_a^x f(x)dx\) ? Trotz dem \(x\) als obere Integralgrenze noch?

Weil beim Beweis von der Substitutionsregel hat man sowas Ähnliches, nur steht da dann wieder "das richtige" anstatt das man es umgetauft zu t hat...
  ─   sorcing 18.03.2021 um 21:31

Nein, \(x\) darfst du es eben nicht nennen, denn \(x\) ist die Variable der Funktion \(F\) und kommt in der oberen Grenze vor. Dann brauchst du als Integrationsvariable etwas anderes.   ─   cauchy 19.03.2021 um 02:36

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Einen Beweis findest Du z.B. in meinem Video zu diesem Thema. lernplaylist Integralrechnung!
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Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Professorrs wurde bereits informiert.