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1. Der Grenzwert existiert, weil \(f\) stetig ist \(f(z)\rightarrow f(x_0)\). Wenn du jetzt aber für \(f(z)\) den Differenzenquotienten einsetzt, folgt der Ausdruck unten. Du kannst aber \(z\rightarrow x_0\) durch \(x\rightarrow x_0\) ersetzen, da beides gegen 0 geht, was die Abschätzung zeigt.
2. Im Ausdruck \(F(x)=\int\limits_a^x \!f(t)\,\mathrm{d}t\) ist das \(t\) die Integrationsvariable und das \(x\) die Variable der Funktion \(F\). Es spielt keine Rolle, ob man \(f(x), f(t), f(u), f(z)\) oder \(f(whatever)\) schreibt. Es ist letztendlich nur der Name der Variable. In der Regel nutzt man natürlich \(x\). In vielen Anwendungen verwendet man aber auch \(t\), da \(t\) dann für die Zeit (engl. time) steht. Auf der Abzisse steht dann entsprechend die gewählte Variable.
2. Im Ausdruck \(F(x)=\int\limits_a^x \!f(t)\,\mathrm{d}t\) ist das \(t\) die Integrationsvariable und das \(x\) die Variable der Funktion \(F\). Es spielt keine Rolle, ob man \(f(x), f(t), f(u), f(z)\) oder \(f(whatever)\) schreibt. Es ist letztendlich nur der Name der Variable. In der Regel nutzt man natürlich \(x\). In vielen Anwendungen verwendet man aber auch \(t\), da \(t\) dann für die Zeit (engl. time) steht. Auf der Abzisse steht dann entsprechend die gewählte Variable.
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cauchy
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ok danke. 1) Hab ich super verstanden jetzt.
Bei 2) muss ich nochmal nachhacken. Es ist also egal, ob da steht \(F(x)\) = \(\int_a^x f(t)dt\) oder \(F(x)\) = \(\int_a^x f(x)dx\), bzw es gilt: \(\int_a^x f(t)dt\) = \(\int_a^x f(x)dx\) ? Trotz dem \(x\) als obere Integralgrenze noch?
Weil beim Beweis von der Substitutionsregel hat man sowas Ähnliches, nur steht da dann wieder "das richtige" anstatt das man es umgetauft zu t hat...
─ sorcing 18.03.2021 um 21:31
Bei 2) muss ich nochmal nachhacken. Es ist also egal, ob da steht \(F(x)\) = \(\int_a^x f(t)dt\) oder \(F(x)\) = \(\int_a^x f(x)dx\), bzw es gilt: \(\int_a^x f(t)dt\) = \(\int_a^x f(x)dx\) ? Trotz dem \(x\) als obere Integralgrenze noch?
Weil beim Beweis von der Substitutionsregel hat man sowas Ähnliches, nur steht da dann wieder "das richtige" anstatt das man es umgetauft zu t hat...
─ sorcing 18.03.2021 um 21:31
Nein, \(x\) darfst du es eben nicht nennen, denn \(x\) ist die Variable der Funktion \(F\) und kommt in der oberen Grenze vor. Dann brauchst du als Integrationsvariable etwas anderes.
─
cauchy
19.03.2021 um 02:36
