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1. Der Grenzwert existiert, weil \(f\) stetig ist \(f(z)\rightarrow f(x_0)\). Wenn du jetzt aber für \(f(z)\) den Differenzenquotienten einsetzt, folgt der Ausdruck unten. Du kannst aber \(z\rightarrow x_0\) durch \(x\rightarrow x_0\) ersetzen, da beides gegen 0 geht, was die Abschätzung zeigt.
2. Im Ausdruck \(F(x)=\int\limits_a^x \!f(t)\,\mathrm{d}t\) ist das \(t\) die Integrationsvariable und das \(x\) die Variable der Funktion \(F\). Es spielt keine Rolle, ob man \(f(x), f(t), f(u), f(z)\) oder \(f(whatever)\) schreibt. Es ist letztendlich nur der Name der Variable. In der Regel nutzt man natürlich \(x\). In vielen Anwendungen verwendet man aber auch \(t\), da \(t\) dann für die Zeit (engl. time) steht. Auf der Abzisse steht dann entsprechend die gewählte Variable.
2. Im Ausdruck \(F(x)=\int\limits_a^x \!f(t)\,\mathrm{d}t\) ist das \(t\) die Integrationsvariable und das \(x\) die Variable der Funktion \(F\). Es spielt keine Rolle, ob man \(f(x), f(t), f(u), f(z)\) oder \(f(whatever)\) schreibt. Es ist letztendlich nur der Name der Variable. In der Regel nutzt man natürlich \(x\). In vielen Anwendungen verwendet man aber auch \(t\), da \(t\) dann für die Zeit (engl. time) steht. Auf der Abzisse steht dann entsprechend die gewählte Variable.
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cauchy
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ok danke. 1) Hab ich super verstanden jetzt.
Bei 2) muss ich nochmal nachhacken. Es ist also egal, ob da steht \(F(x)\) = \(\int_a^x f(t)dt\) oder \(F(x)\) = \(\int_a^x f(x)dx\), bzw es gilt: \(\int_a^x f(t)dt\) = \(\int_a^x f(x)dx\) ? Trotz dem \(x\) als obere Integralgrenze noch?
Weil beim Beweis von der Substitutionsregel hat man sowas Ähnliches, nur steht da dann wieder "das richtige" anstatt das man es umgetauft zu t hat...
─ sorcing 18.03.2021 um 21:31
Bei 2) muss ich nochmal nachhacken. Es ist also egal, ob da steht \(F(x)\) = \(\int_a^x f(t)dt\) oder \(F(x)\) = \(\int_a^x f(x)dx\), bzw es gilt: \(\int_a^x f(t)dt\) = \(\int_a^x f(x)dx\) ? Trotz dem \(x\) als obere Integralgrenze noch?
Weil beim Beweis von der Substitutionsregel hat man sowas Ähnliches, nur steht da dann wieder "das richtige" anstatt das man es umgetauft zu t hat...
─ sorcing 18.03.2021 um 21:31
Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden.
Cauchy wurde bereits informiert.
Und das macht auch Sinn, weil man auf den Term \(\frac{1}{x-x_0}\) \(\int f(t)dt\) von \(x_{0}\) bis \(x\) als Grenzen den Mittelwertsatz der Integralrechnung anwendet und man dann \(\frac{1}{x-x_0}\)\(f(z)(x-x_{0}\)) erhält wo sich der Nenner rauskürzt und man dann nur noch \(f(z)\) hat. ─ sorcing 17.03.2021 um 20:34