Wie beweise ich dass diese Funktion ein Mass ist?

Aufrufe: 563     Aktiv: 02.10.2021 um 18:58
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Hallo Zusammen
 
Ich habe folgende Aufgabe:
 
Seien \(A_1,A_2\) zwei \(\sigma\)-Algebren von Teilmengen \(\Omega_1,\Omega_2\). Sei \(f:\Omega_1\rightarrow \Omega_2\) eine Funktion so dass \(f^{-1}(A)\in A_1 \,\,\,\forall A\in A_2\). Sei \(\mu\) ein Mass auf \(A_1\). Zeigen Sie dass \(v(A)=\mu(f^{-1}(A))\) ein mass ist auf \(A_2\)
 
Nun bin ich am Punkt wo ich zeigen möchte dass \(v(\emptyset)=0\). Dafür genügt es ja aber zu zeigen dass \(f^{1}(\emptyset)=\emptyset\) ist. Irgendwie ist ja das schon klar, doch beim Beweis scheitert's leider kläglich...
Zuerst wollte ich es mit einem Widerspruch versuchen, doch das ging irgendwie nicht ganz.
Dann dachte ich, ich zeige es per Inklusion. 
\(\emptyset \subset f^{-1}(\emptyset)\) ist ja klar. Nun wenn ich aber \(b\in f^{-1}(\emptyset)\in A_1\) wähle dann heisst ja das, dass $$f(b)\in \emptyset \Leftrightarrow f(b)=\emptyset \Leftrightarrow b=f^{-1}(\emptyset)$$
Irgendwie kommt mir dann das aber komisch vor.
 
Könnte mir da jemand weiterhelfen?
 
vielen Dank!
 
 
 
 
 
 
 
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Eigentlich gibts hier nichts zu zeigen. Für eine Menge $B$ ist $f^{-1}(B)=\{x: f(x)\in B\}.$ Gäbe es ein $x\in f^{-1}(\emptyset)$, dann wäre $f(x)\in \emptyset$, was ja nicht sein kann, da die Menge ja keine Elemente umfasst.
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