Funktion entwickeln

Aufrufe: 311     Aktiv: 02.09.2022 um 17:36

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Hallo!

Ich habe eine Frage bezüglich einer Ableitung.
Ich möchte eine Funktion f(x) in ihrer Ableitung entwickeln, sodass sich für kleine a so ein ähnlicher Term ergibt.

$\frac{d}{da} f(x+a) = f'(x) + a$

Ist das möglich?

Vielen Dank
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Natürlich ist die rechte Seite der Gleichung ein Term.
Wenn für dich eine lineare Näherung ein Problem ist, dann musst du ja auch nicht kommentieren...
  ─   usere1f4c1 02.09.2022 um 16:58
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2 Antworten
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Wenn \(f\) differenzierbar in \(x\) ist, gilt für \(a\) klein genug, dass \(f(x+a) = f(x)+f^{\prime}(x)a+r(a)\) mit \(\frac{r(a)}{||a||} \to 0\) für \(||a||\to 0\). Es ist also \(\frac{d}{da} f(x+a)=f^{\prime}(x)+r(a) \). +a macht im allgemeinen keinen Sinn, weil nicht klar ist, dass a in der Zielmenge von f ist. Wenn Definitions- und Zielmenge gleich reelle Zahlen, man kann sich überlegen, dass für kleine a auch r(a) klein ist und umgekehrt
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Es ist $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}f(x+a)=f'(x+a)$ Mit $f'(x+a)=f'(x)+a$ folgt dann, dass $f'$ linear sein muss und $f'(a)=a$ erfüllt. Eine Funktion, die dies erfüllt, löst die entsprechende Gleichung.
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Selbstständig, Punkte: 30.55K

 

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.