Wenn \(f\) differenzierbar in \(x\) ist, gilt für \(a\) klein genug, dass \(f(x+a) = f(x)+f^{\prime}(x)a+r(a)\) mit \(\frac{r(a)}{||a||} \to 0\) für \(||a||\to 0\). Es ist also \(\frac{d}{da} f(x+a)=f^{\prime}(x)+r(a) \). +a macht im allgemeinen keinen Sinn, weil nicht klar ist, dass a in der Zielmenge von f ist. Wenn Definitions- und Zielmenge gleich reelle Zahlen, man kann sich überlegen, dass für kleine a auch r(a) klein ist und umgekehrt

Es ist $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}f(x+a)=f'(x+a)$ Mit $f'(x+a)=f'(x)+a$ folgt dann, dass $f'$ linear sein muss und $f'(a)=a$ erfüllt. Eine Funktion, die dies erfüllt, löst die entsprechende Gleichung.