Kann eine divergente Funktion stetig sein?

Aufrufe: 529     Aktiv: 04.02.2022 um 15:30
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Ich weiß, eine etwas doofe, jedoch wirklich ernstgemeinte Frage, stehe gerade einfach auf der Leitung. 

Stetigkeit liegt ja vor wenn 
lim f(x), also rechtsseitiger lim f (x) = linksseitiger lim f (x) = f(x) 

Unendlich und minus unendlich sind ja auch Grenzwerte. Daher müsste doch auch hier Stetigkeit vorliegen können oder?
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1 Antwort
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unendlich ist gerade KEIN Grenzwert, sondern es geht ja immer weiter. (ok, philosophisch vll.)  Stell dir einfach f(x)=1/x^2 grafisch vor. Bei x=0 hast du deinen Fall. Findest du, die Kurve dürftest du als stetig bezeichnen? (ist jetzt keine mathematische Antwort, sondern eine anschauliche)
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Erst einmal vielen lieben Dank für deine Antwort!
Ja, du hast recht, inf und -inf sind keine tatsächlichen Grenzwerte, die eine Grenze definieren. Ich entnehme deiner Antwort, dass divergierende grundsätzlich nicht stetig sein können. In deinem Beispiel lässt mich grübeln, dass hier ohnehin keine Stetigkeit erreicht werden könnte, weil 1/x² wenn x=0 keinen definierten funktionswert hätte. Daher frage ich mich, ob es überhaupt eine Konstellation gäbe, wo das ginge.   ─   gast12 04.02.2022 um 12:20
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wenn ich dich jetzt richtig verstehe, müsste deine Frage die Funktion von oben mit zusätzlich f(0)=0 oder 100000000 beantworten. Oder welchen Fall meinst du, dass es rechts und links gegen unendlich geht und trotzdem ein Funktionswert vorliegt?   ─   patricks 04.02.2022 um 12:38
Ich bin mir gerade noch unsicher, ob ich dich richtig verstehe. Ich meinte eigentlich, dass es rein mathematisch in dem Beispiel 1/x² nicht zutrifft, dass f(0) = lim f(0) ist. Weil ja dann f(0) = nicht definiert, weil durch 0 geteilt und lim f(0) = inf wäre.

Somit wäre nicht definiert = inf. Das stimmt ja nicht überein. Deswegen schließe ich aus deinem Kommentar, dass du mir genau das sagen wolltest, dass f(0) = lim f(0) sich einfach gegenseitig ausschließt und es daher einfach keine Konstellation geben kann, wo divergente stetig sein können.   ─   gast12 04.02.2022 um 12:47
nein, es war anders gemeint. du kannst ja den Definitionsbereich jeder Funktion erweitern, indem du einen Funktionswert zuordnest (dann ist es natürlich eine andere) Bei Funktionen, die von links und von rechts z.B. auf y=2 zulaufen, an der Stelle aber nicht definiert sind, macht man das häufig so. d.h, die Vorschrift wir einfach an der Definitionslücke durch enen Wert ergänzt. Die Frage ist nun, welchen f(0) Wert müsste man wählen, damit f stetig wird.
und meine andere Frage an dich war, ob du eine (andere) Funktion hast, bei der die limites nicht existieren, ein Funktionswert aber schon?
   ─   patricks 04.02.2022 um 13:15
Ah okay, danke für die Erläuterung! :)
Nein tatsächlich nicht, ich schreibe nur Klausur und naja als Student macht man sich dann ab und an doch mal einen Kopf, was wie dran kommt und wie man reagiert. Nach deinem anschaulichen Beispiel denke ich eben, dass es - sofern die Konstellation existiert - die seltensten Fälle sein würden.   ─   gast12 04.02.2022 um 15:30

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