Question

Untersuchen Sie die folgenden Mengen auf Offenheit und Abgeschlossenheit.

Aufrufe: 319 Aktiv: 01.05.2024 um 21:09

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wer kann mir bei dieser Aufgabe weiterhelfen?

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gefragt 01.05.2024 um 13:42

itoxiic
Student, Punkte: 15

Helfen kann man, wenn Du Deine Frage gestellt hast. Die Definitionen in den Unterlagen hast Du nachgeschlagen? Mögliche Anwendungen davon in Deinen Unterlagen? Davon hängt auch die für Dich passende Lösung ab.
Ergänze also oben entsprechend (Deine Vorüberlegungen usw., oben "Frage bearbeiten"). ─ mikn 01.05.2024 um 14:25

Zur Zeit habe ich nur noch Probleme mit der Offenheit und Abgeschlossenheit der Mengen. In der VL wurden diese wie folgt definiert: M ist eine echte Teilmenge von R^n. M heißt offen, wenn für alle a aus M ein r>0 existiert, so dass B (a,r) Teilmenge von S ist. (B ist eine Kugel um a mit dem Radius r). Und M ist abgeschl, wenn R^n \ S offen ist. Leider schaffe ich es nicht diese Definitionen sinnvoll auf dieses Beispiel übertragen zu können. ─ itoxiic 01.05.2024 um 15:27

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mikn · Answer 1 · 2024-05-01T15:31:42Z

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Okay. Fang mal mit a) an, und dem Beispiel (wenn man keinen Anfang bei Mathe-Aufgaben, immer Beispiele ausprobieren)

$n=1$ , dann ist

$\|x\|=|x|$ und

$B(a,r)=(a-r,a+r)$ . Und dann weiter mit Beispielen für

$x$ (konkrete Zahlen!). Versuche eine Kugel zu finden mit

$B(x,r)\subset A$ (ggf. wieder mit Beispiel für

$r$ ).

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geantwortet 01.05.2024 um 15:31

mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 40.1K

Ist es dann korrekt und der "erst Schritt" zum Beweis, wenn ich immer ein passendes r finde, so dass B ⊂ A ?
─ itoxiic 01.05.2024 um 15:50

Ja, wenn das allgemein (also nicht nur mit Beispielen) mit

$A$ klappt, heißt das, dass

$A$ offen ist. ─ mikn 01.05.2024 um 15:53

bislang habe ich nur Beispiele notiert, das wird aber sicherlich auch allgemein klappen :D. Und wie ist die beste Herangehensweise dann an die Abgeschlossenheit?
─ itoxiic 01.05.2024 um 15:56

Klingt gut. Für die Abgeschlossenheit (könnte bei b) interessant sein ;-)) kannst Du zeigen, dass

$R^2\setminus B = \{(x,y)\in R^2 | y\neq 0\}$ offen ist (das geht dann wie in a)). ─ mikn 01.05.2024 um 16:09

@mikn: Die Wortwahl ist glaube ich etwas ungünstig: Die Negation nachweisen reicht leider nicht - das zeigt nur, dass die Menge nicht offen ist, aber es zeigt nicht, dass diese dann auch automatisch abgeschlossen ist. ─ crystalmath 01.05.2024 um 18:30

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@crystalmath stimmt, das ist nicht gut. Danke. ─ mikn 01.05.2024 um 21:08

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