Gleichung einer Logarithmusfunktion, spezifische Lösung benötigt

Aufrufe: 698     Aktiv: 20.12.2020 um 17:22
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Hallo,

ich habe Probleme, folgende Aufgabe

  • Bestimmen Sie die Lösungsmenge L der folgenden Gleichung für x ∈ R {Menge der reellen Zahlen, Anm}.
    \( x^{ld(x+8)} = 5 \)

auf jene Art und Weise zu lösen, sodass diese spezifische Lösungsmenge als Ergebnis aufscheint:

  • L = {\(e^{(-4 \cdot ln(2) - \sqrt{(16 \cdot ln(2)^2+ln(5) \cdot ln(2))} )}\),\(e^{(-4 \cdot ln(2) + \sqrt{(16 \cdot ln(2)^2+ln(5) \cdot ln(2))} )}\)}

Nach einigen Versuchen ist dies das beste, was ich selbst zu bieten habe:

  1. \( x^{ld(x+8)} = 5 \)
  2. \( ld(x+8) = log_{x}(5) \)
  3. \( \frac {ln(x+8)} {ln(2)} = \frac {ln(5)} {ln(x)} \)
  4. \( ln(x+8) \cdot ln(x) = ln(5) \cdot ln(2) \)

Vielen Dank an jeden, der sich Zeit für dieses Problem nimmt!

 

EDIT: Mein Screenshot des Beispiels:

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Student, Punkte: 49

 
Darf ich wissen, weshalb die Frage negativ bewertet wird?   ─   arcturus0815 20.12.2020 um 16:18
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Wtf wer gibt hier bitte Downvotes auf Fragen o.O? Helft lieber mit die Gleichung zu lösen!   ─   maqu 20.12.2020 um 16:25
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1 Antwort
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Also vielleicht macht es Sinn von hinten heran zu gehen. Das geht natürlich nur weil du die Lösungen kennst!

Was bei \(e\) im Exponenten steht, sieht stark nach \(p-q-\)Formel aus. D.h., es müsste die Form \(e^z=1\) haben, wobei \(z=0\) wird und die Gestalt

\(z=0=x^2+8\ln(2)x-\ln(5)\cdot \ln(2)\)

hat.

Vielleicht kommst du von deinem letzten Schritt in Richtung:

\(\ln(x+8)\cdot \ln(x)=\ln(5)\cdot \ln(2) \quad \Leftrightarrow \quad e^{\ln(x+8)\cdot \ln(x)} =e^{\ln(5)\cdot \ln(2)} \quad \Leftrightarrow \quad e^{\ln(x+8)\cdot \ln(x)-\ln(5)\cdot \ln(2)}=1\) 

Die Gleichung ist genau dann erfüllt, wenn der Exponent Null wird. Wenn du es also schaffst den Ausdruck \(\ln(x+8)\cdot \ln(x)\) in \(x^2+8\ln(2)x\) umzuwandeln hast du es geschafft.

 

Hoffe das hilft weiter.

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Punkte: 8.84K

 
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Tatsächlich! Danke für den Hinweis @mikn. Also bitte entsprechend angleichen @arcturus0815 ^^ .... Trotzdem finde ich leider noch nicht den zusammenhängenden Schritt >.<   ─   maqu 20.12.2020 um 16:50
@maqu Danke für diesen Ansatz! Das hat mir auf jeden Fall geholfen, das Beispiel aus einem neuen Blickwinkel zu betrachten.

@mikn ebenso dankeschön!
Bezüglich der Lösung: Es handelt sich hierbei um ein e-learning System meiner Uni, welches (natürlich einigen Parametern folgend) randomisierte Beispiele und deren Lösungen zur Verfügung stellt. Ich habe es jetzt noch einmal so überprüft und es sollte eigentlich so stimmen.

Ich habe noch einen Screenshot gemacht, ich werde den in der Frage anfügen, für den Fall, dass ich leider trotzdem einen Fehler gemacht habe. Wenn dem so ist, tut mir das natürlich sehr Leid!   ─   arcturus0815 20.12.2020 um 16:55
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Kann es sein, dass \(x^{ld(x)+8}=5\) gemeint ist?   ─   maqu 20.12.2020 um 16:58
Ja, das wäre möglich.   ─   arcturus0815 20.12.2020 um 17:02
Ich werde es direkt auf diese Art und Weise probieren!
Sollte dies der "Knackpunkt" des Beispiels gewesen sein, möchte ich mich entschuldigen, dass ich das nicht selber bemerkt habe..   ─   arcturus0815 20.12.2020 um 17:04
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jap so passt es ... so kommt auch die 8 vor den log ;)   ─   maqu 20.12.2020 um 17:09
Vielen Dank!
Jetzt habe ich es auch geschafft.
Und danke für das Verständnis in diesem Fall :)   ─   arcturus0815 20.12.2020 um 17:20
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Immer gern ;)   ─   maqu 20.12.2020 um 17:22

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