Hallo,

ja das siehst du richtig. Ein Supremum muss zwar nicht in der Menge selbst liegen aber in der Obermenge. 

Wenn wir also eine Menge in den reellen Zahlen betrachten, dann ist eine obere Schranke einer Teilmenge von \( \mathbb{R} \) ein Element aus \( \mathbb{R} \) das größer ist als alle Elemente aus der Teilmenge. Das Supremum ist dann eben die kleinste obere Schranke. Analoges gilt für das Infimum.

Es gibt jetzt aber beispielsweise auch die erweitereten reellen Zaheln 

$$ \overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{ -\infty , \infty \} $$

Wenn wir jetzt eine Teilmenge der erweiterten reellen Zahlen betrachten, wie man es beispielsweise in der Maßtheroie häufig tut, kann das Supremum auch unendlich sein.

Grüße Christian