Der Beweis von A1 müsste ganz ähnlich wie der Beweis von A3 aufgeschrieben werden:
Es sei $A_{n_1,\ldots, n_m} = \{\omega\in\Omega;\;X_1(\omega) = x_{n_1}, \ldots, X_m(\omega) = x_{n_m}\}$.
Dieses Mengensystem ist eine disjunkte Aufteilung von $\Omega$  

Dann gilt
$\displaystyle E(|f(X_1,\ldots,X_m)|)  = \sum_{\omega} |f(X_1(\omega),\ldots,X_m(\omega))| \; \cdot \; \mathbb{P}(\omega)$
$\displaystyle =\sum_{x_1} \ldots \sum_{x_m} |f(x_1,\ldots,x_m)| \; \cdot \; \mathbb{P}(A_{n_1,\ldots, n_m} )$
$\displaystyle  =\sum_{x_1} \ldots \sum_{x_m} |f(x_1,\ldots,x_m)| \; \cdot \; \mathbb{P}(X_1=x_1, \ldots, X_m=x_m)$.

Beim zweiten Gleichheitszeichen gruppiert man alle Summanden nach dem Wert der Zufallsvariablen: Für jedes Tupel $(x_1,\ldots x_m)$ ergibt sich eine Gruppe.

Ich habe in der Literatur leider keinen Satz gefunden, der aussagt, dass man dieses Gruppieren darf; da aber bereits im Beweis für A3 gruppiert wurde, erlaube ich mir, dies für A1 auch zu tun.

A3 müsste auch gelten, wenn man die Betragsstriche um f(...) weglässt.