Linearität Bedingung prüfen 2x2 Matrix

Aufrufe: 327     Aktiv: 06.02.2023 um 14:59

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Hallo, ich wollte fragen, ob diese Matrix nicht linear ist?

Zwar ist die erste Bedingung erfüllt für Linearität (da keine Variable drin ist),

aber die zweite Bedingung ist nicht erfüllt, da man die Matrix mit lambda (l * f(x)) multipliziert, und sie so nicht gleich der Bedingung für f(lx) entspricht?
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Jede Abbildung, die durch Matrixmultiplikation definiert ist, ist linear, weil $A(x+y)=Ax+Ay$ und $A\lambda x=\lambda Ax$. Tatsächlich werden diese Funktionen gerade lineare Funktionen genannt.   ─   fix 04.02.2023 um 22:05

Aber in dem Fall hat diese Matrix keine Variablen?   ─   pnat 04.02.2023 um 22:59

Das spielt keine Rolle   ─   fix 04.02.2023 um 23:18

Ist die Berechnung richtig?

1. Bedingung:
f(x+y) = f(x) + f(y)

linke Seite:
A(x+y) =
2 1
9 -3

Rechte Seite:
A(x) + A(y) =
A(x) =
2 1
9 -3
A(y) =
2 1
9 -3

=> A(x+y) =
4 2
18 -6

Ergo A(x+y) != A(x) + A(y)

2. Bedingung

f(l*x) = l*f(x)

linke Seite:
2 1
9 -3

rechte Seite
2l 1l
9l -3l

=> ergo f(l*x) != l*f(x)

Hab ich das so richtig berechnet?

Es bedeutet, dass es nicht linear ist, oder?
  ─   pnat 04.02.2023 um 23:28

Also heißt das, dass man da nichts prüfen muss? Warum sagt der Prof, dass man die Formel verwenden soll? Sollte ich die o. g. Schritte nicht machen?   ─   pnat 05.02.2023 um 01:14
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1 Antwort
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Die Abbildung ist definiert durch $f(x) =Ax$, wobei $x=(x_1, x_2)^T$ ein Spaltenvektor ist (steht ja oben). Du musst also $f(x+y)=A(x+y)$ (das hier ist eine Matrix-Vektor-Multiplikation) usw. berechnen.
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Das bedeutet ja, dass die Matrix dann linear ist, da wenn man die Matrix A mit den x Vektor multipliziert, diese Matrix dann nur aus Variablen besteht und keine konstanten da sind, weswegen sie dann linear ist, oder?   ─   pnat 05.02.2023 um 19:04

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Lies nochmal die Kommentare oben und kläre die Begriffe. Eine Matrix ist NICHT linear. Und selbst wenn das Ergebnis dann Variablen enthält, heißt das nicht automatisch, dass die Abbildung linear ist. Dafür sind die Bedingungen nachzurechnen. Ich weiß nicht, warum du das nicht einfach tust.   ─   cauchy 05.02.2023 um 19:24

f(x) =
(2x1 + x1
9x2 -3x2)


f(x+y) =
[2(x1+y1) + (x1+y1)
9(x2+y2) - 3(x2+y2)]

f(x) + f(y) =
f(x) =
2x1 + x1
9x2 - 3x2
+f(y)=
2y1 + y1
9y2 - 3y2

ist also linear für die erste Bedingung..

2. Bedingung:
f(lx) = l*f(x)

f(l*x) =
2(lx1) + (lx1)
9(lx2) - 3(lx2)

l*f(x) =
l *
(2x1 + x1
9x2 - 3x2)

ist auch linear.

Also bedeutet das doch, dass die Abbildung linear ist?
  ─   pnat 06.02.2023 um 04:08

Kann leider im Kommentar selbst kein Bild hochladen. Gibts hierzu eine Shortcode?   ─   pnat 06.02.2023 um 14:46

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