Aus A, B und C setzt sich die Mischung zusammen, also muss gelten: \(a+b+c=1\) (1)
Die Kosten von 500g Mischung betragen \(6a + 7,5b + 9c\) €. Also muss gelten: \(6a + 7,5b + 9c=6,75\) (2)
Und dann muss ein jeder Anteil größer gleich 0 sein:
\(a\ge 0\) (3a)
\(b\ge 0\) (3b)
\(c\ge 0\) (3c)
Und ein jeder Anteil muss kleiner als 1 sein: \(a\le 1, b\le 1, c\le 1\) . Aber diese Bedingungen braucht es nicht, da sie schon aus (1) und (3) folgen.
(1), (2) bilden ein überbestimmtes Gleichungssystem. Das kann man z.B. mit dem Gaußalgorithmus auf folgende Form bringen:
\(a = \mbox{irgendeine Konstante} + \mbox{irgendeine Konstante} \cdot\,c\) (4)
\(b = \mbox{irgendeine Konstante} + \mbox{irgendeine Konstante} \cdot\,c\) (5)
(3), (4) und (5) gibt dann die Lösungsmenge an, und erlaubt Dir zu bestimmen, welche Werte a annehmen kann.
Falls es hier haken sollte, bitte nochmal meldne.
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Es ist doch hoffentlich logisch, dass einer der Werte 1 entsprechen kann, weil die "Mischung" auch nur aus einer Sorte bestehen kann. Genauso können die Werte 0 entsprechen, weil eine Sorte nicht vorkommen muss. Dass man im Fall $a=1$ dann streng genommen keine Mischung mehr hat, ist hier nicht relevant.
Man muss die Lösung auch nicht auf die hier angegebene Form bringen. ─ cauchy 17.10.2023 um 11:56
Nun denn... Ich habe die Variablen aufgeschrieben und gennant. Ich weiß immer noch nicht wie ich jetzt damit arbeiten soll und wie ich das LGS (1) (2) von Herr Simon gennant lösen kann. ─ ceko 17.10.2023 um 13:15
a ist die Menge der Sorte A in 500 Gramm Fertigmischung, in Gramm.
b ist die Menge der Sorte B in 500 Gramm Fertigmischung, in Gramm.
c ist die Menge der Sorte C in 500 Gramm Fertigmischung, in Gramm.
Dann gilt: \(a+b+c=500\;\;\;\;\;\;\mbox{}\) (1)
weil sonst kämen ja nicht 500 g Mischung heraus.
Nach wie vor gilt: \(a\ge 0,\; b\ge 0,\; c\ge 0\;\;\;\;\;\;\mbox{}\) (2)
Zu Punkt 3: Ob es "\(a<500\)" oder "\(a\le 500 \)" heißen muss, ist egal. Diese Bedingungen folgen bereits aus (1) und (2).
Der Preis für 500g Mischung setzt sich aus den Preisen für die Sorte A, B und C zusammen.
Von Sorte A gibt es a Gramm. 500 Gramm kosten 6€, also kosten a Gramm \(\displaystyle \frac{6a}{500} \) €.
Ähnliches gilt für B und C. Ergo: Preis für 500g Mischung: \(\displaystyle \frac{6a}{500} \;+\; \frac{7,5b}{500} \;+\;\frac{9c}{500}\;=\;6,75\), oder
\(6a \;+\; 7,5b \;+\;9c\;=\;500\cdot 6,75\;=\;3375\;\;\;\;\;\;\mbox{}\) (3)
Zu Punkt (4): Gl. (1) nach a auflösen:
\(a=500-b-c\;\;\;\;\;\;\mbox{}\) (4)
Das in Gl. (3) einsetzen: \(6(500-b-c) \;+\; 7,5b \;+9c\;=\;3375\).
Diese Gleichung nach b auflösen in und Gl. (4) einsetzen. Dann hast Du die Gleichungen in der gewünschten Form
\(a = \mbox{irgendeine Konstante} + (\mbox{irgendeine Konstante}) \cdot\,c\)
\(b = \mbox{irgendeine Konstante} + (\mbox{irgendeine Konstante}) \cdot\,c\)
─ m.simon.539 17.10.2023 um 13:17
Dass eine Sorte nicht in der Mischung sein muss, heißt nicht, dass höchstens eine Sorte nicht in der Mischung sein muss. Das "eine" ist hier also nicht als Zahlwort zu verstehen. ─ cauchy 17.10.2023 um 13:19
b = 250 - 2c und a = 250 + c, Wie kann ich jetzt den Höchstanteil und den niedrigsten Anteil berechnen? ─ ceko 17.10.2023 um 15:39
Zunächst muss nun den Bereich für c ermitteln, so dass gilt: \(a\ge 0, b\ge 0, c\ge 0\).
Es ist: \(a\ge 0 \;\Leftrightarrow\; 250 + c\ge 0\;\Leftrightarrow\;c\ge-250\). Das gilt aber ohnehin, da \(c\ge 0\).
Ferner ist \(b\ge 0\;\Leftrightarrow\;250-2c\ge 0\;\Rightarrow\;250\ge 2c\;\Leftrightarrow\;c \le 125\).
Damit hat man einen Bereich für c gefunden, der zulässige Lösungen liefert: \(0\le c \le 125\).
Hieraus und aus \(a = 250 + c\) kann man die möglichen Werte von a bestimmen.
─ m.simon.539 17.10.2023 um 22:48
\(0\le c \le 125\).
Nun addiere ich 250 links, rechts und in der Mitte:
\(250\le c+250 \le 375\).
Also: \(250\le a \le 375\).
─ m.simon.539 17.10.2023 um 23:44
ich habe einige Punkte die mich verwirren.
Punkt 1.):
Ich verstehe das sich Sorte A, B und C als Mischungen zusammen setzen, aber wieso gilt dann a + b + c = 1,. Genauer: Wieso wird die Mischung mit "= 1" gleichgesetzt? Was hat den 1 für ein Stellenwert, das Sie das gleichsetzen? Ist das weil 500a + 500b + 500c = 500, sie geilt durch 500 zu a + b + c = 1 geformt haben?
Punkt 3.):
Muss doch anders geschrieben werden? In der Aufgabenstellung steht "Es ist aber erlaubt, das eine Sorte gar nicht in der Mischung vorkommt. Das bedeutet wenn a = 1 entspricht, kommen beide Sorten nicht in die Mischung.
Also muss das doch so geschrieben werden: a < 1, b < 1, c < 1, statt $ a ≤ 1,b ≤ 1,c ≤ 1 $. Weil 6a -> 6*1 = 500g entspricht und die Bedingung für beide b und c automatisch = 0 sein muss, sonst a + b + c = 1 unwahr ist. Wieso kann also einer der Werte a, b, c = 1 entsprechen?
Punkt 4 :
Ich weiß nicht wie ich das auf diese Form bringen soll (siehe mein Edit an) ─ ceko 17.10.2023 um 11:45