LGS Textaufgabe

Aufrufe: 286     Aktiv: 18.10.2023 um 10:50

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Also wirklich aber ich bin jetzt irgenwie wirklich völlig verwirrt. 



Mein Ansatz wär das hier aber das ist auch völlig falsch.
Um miene Situation kurz zu schildern: Ich weiß wirklich nicht mehr was ich machen soll.

EDIT vom 17.10.2023 um 11:47:

So ich sollte eigentlich nichts falsch gemacht haben bei der Verwendung des Gauß-Verfahrens.
Lgs
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Student, Punkte: 628

 
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Sei a der Anteil der Sorte A, b der Anteil der Sorte B und c der Anteil der Sorte C in der Mischung.
Aus A, B und C setzt sich die Mischung zusammen, also muss gelten: \(a+b+c=1\)     (1)

Die Kosten von 500g Mischung betragen \(6a + 7,5b + 9c\) €. Also muss gelten: \(6a + 7,5b + 9c=6,75\)     (2)

Und dann muss ein jeder Anteil größer gleich 0 sein:
\(a\ge 0\)    (3a)
\(b\ge 0\)    (3b)
\(c\ge 0\)    (3c)

Und ein jeder Anteil muss kleiner als 1 sein: \(a\le 1, b\le 1, c\le 1\) . Aber diese Bedingungen braucht es nicht, da sie schon aus (1) und (3) folgen.

(1), (2) bilden ein überbestimmtes Gleichungssystem. Das kann man z.B. mit dem Gaußalgorithmus auf folgende Form bringen:
\(a = \mbox{irgendeine Konstante} + \mbox{irgendeine Konstante} \cdot\,c\)            (4)
\(b = \mbox{irgendeine Konstante} + \mbox{irgendeine Konstante} \cdot\,c\)            (5)

(3), (4) und (5) gibt dann die Lösungsmenge an, und erlaubt Dir zu bestimmen, welche Werte a annehmen kann.
Falls es hier haken sollte, bitte nochmal meldne.
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Guten Morgen,

ich habe einige Punkte die mich verwirren.

Punkt 1.):
Ich verstehe das sich Sorte A, B und C als Mischungen zusammen setzen, aber wieso gilt dann a + b + c = 1,. Genauer: Wieso wird die Mischung mit "= 1" gleichgesetzt? Was hat den 1 für ein Stellenwert, das Sie das gleichsetzen? Ist das weil 500a + 500b + 500c = 500, sie geilt durch 500 zu a + b + c = 1 geformt haben?

Punkt 3.):
Muss doch anders geschrieben werden? In der Aufgabenstellung steht "Es ist aber erlaubt, das eine Sorte gar nicht in der Mischung vorkommt. Das bedeutet wenn a = 1 entspricht, kommen beide Sorten nicht in die Mischung.
Also muss das doch so geschrieben werden: a < 1, b < 1, c < 1, statt $ a ≤ 1,b ≤ 1,c ≤ 1 $. Weil 6a -> 6*1 = 500g entspricht und die Bedingung für beide b und c automatisch = 0 sein muss, sonst a + b + c = 1 unwahr ist. Wieso kann also einer der Werte a, b, c = 1 entsprechen?

Punkt 4 :
Ich weiß nicht wie ich das auf diese Form bringen soll (siehe mein Edit an)
  ─   ceko 17.10.2023 um 11:45

Deswegen habe ich in meiner Antwort geschrieben, dass DU erstmal festlegen sollst, was die Variablen beschreiben. Das ist nämlich nicht eindeutig. In diesem Fall sind $a$, $b$ und $c$ die Anteile. Anteile liegen immer zwischen 0 und 1, Ränder mit eingeschlossen. Die Summe aller Anteile muss 1 ergeben, weil du ja eine "ganze" Mischung haben möchtest, also 100 %. Es ist auch denkbar, dass deine Variablen die Menge in Gramm darstellen. Dann wäre deren Summe gleich 500. Deswegen IMMER am Anfang die Variablen festlegen und aufschreiben. Erst DANN stellt man die Gleichungen auf. Dann wird nämlich auch schnell klar, wie die Gleichungen aussehen müssen.

Es ist doch hoffentlich logisch, dass einer der Werte 1 entsprechen kann, weil die "Mischung" auch nur aus einer Sorte bestehen kann. Genauso können die Werte 0 entsprechen, weil eine Sorte nicht vorkommen muss. Dass man im Fall $a=1$ dann streng genommen keine Mischung mehr hat, ist hier nicht relevant.

Man muss die Lösung auch nicht auf die hier angegebene Form bringen.
  ─   cauchy 17.10.2023 um 11:56

Ich wusste nicht das man etwas "Mischung" nennen kann, wenn darin nur eine Sorte ist. Also wenn die Werte 0 entsprechen, ist das dann auch eine Mischung?   ─   ceko 17.10.2023 um 12:13

Also ich komm einfach nicht weiter hab mir alle Variablen aufgeschrieben und genannt...   ─   ceko 17.10.2023 um 12:58

Sprachlich entspricht das sicherlich keiner Mischung, mathematisch aber schon. Zumal es ja explizit in der Aufgabe steht.   ─   cauchy 17.10.2023 um 13:01

Na ja, da steht nur das es erlaubt ist wenn eine Mischung nicht dabei ist. 2 Sorten können halt immer noch eine Mischung sein. Das sowas in der Mathe geht wusste ich halt nicht. Danke für die Info.

Nun denn... Ich habe die Variablen aufgeschrieben und gennant. Ich weiß immer noch nicht wie ich jetzt damit arbeiten soll und wie ich das LGS (1) (2) von Herr Simon gennant lösen kann.
  ─   ceko 17.10.2023 um 13:15

Zu Punkt 1: Ok, Umdefinition:
a ist die Menge der Sorte A in 500 Gramm Fertigmischung, in Gramm.
b ist die Menge der Sorte B in 500 Gramm Fertigmischung, in Gramm.
c ist die Menge der Sorte C in 500 Gramm Fertigmischung, in Gramm.

Dann gilt: \(a+b+c=500\;\;\;\;\;\;\mbox{}\) (1)
weil sonst kämen ja nicht 500 g Mischung heraus.

Nach wie vor gilt: \(a\ge 0,\; b\ge 0,\; c\ge 0\;\;\;\;\;\;\mbox{}\) (2)

Zu Punkt 3: Ob es "\(a<500\)" oder "\(a\le 500 \)" heißen muss, ist egal. Diese Bedingungen folgen bereits aus (1) und (2).

Der Preis für 500g Mischung setzt sich aus den Preisen für die Sorte A, B und C zusammen.
Von Sorte A gibt es a Gramm. 500 Gramm kosten 6€, also kosten a Gramm \(\displaystyle \frac{6a}{500} \) €.
Ähnliches gilt für B und C. Ergo: Preis für 500g Mischung: \(\displaystyle \frac{6a}{500} \;+\; \frac{7,5b}{500} \;+\;\frac{9c}{500}\;=\;6,75\), oder
\(6a \;+\; 7,5b \;+\;9c\;=\;500\cdot 6,75\;=\;3375\;\;\;\;\;\;\mbox{}\) (3)

Zu Punkt (4): Gl. (1) nach a auflösen:
\(a=500-b-c\;\;\;\;\;\;\mbox{}\) (4)
Das in Gl. (3) einsetzen: \(6(500-b-c) \;+\; 7,5b \;+9c\;=\;3375\).
Diese Gleichung nach b auflösen in und Gl. (4) einsetzen. Dann hast Du die Gleichungen in der gewünschten Form
\(a = \mbox{irgendeine Konstante} + (\mbox{irgendeine Konstante}) \cdot\,c\)
\(b = \mbox{irgendeine Konstante} + (\mbox{irgendeine Konstante}) \cdot\,c\)


  ─   m.simon.539 17.10.2023 um 13:17

Du hast doch schon LGS gelöst, geht wie immer.

Dass eine Sorte nicht in der Mischung sein muss, heißt nicht, dass höchstens eine Sorte nicht in der Mischung sein muss. Das "eine" ist hier also nicht als Zahlwort zu verstehen.
  ─   cauchy 17.10.2023 um 13:19

Ich habe diese Gleichungen in die gewünschte Form gebracht.

b = 250 - 2c und a = 250 + c, Wie kann ich jetzt den Höchstanteil und den niedrigsten Anteil berechnen?
  ─   ceko 17.10.2023 um 15:39

okey und weiter wird mir nicht geholfen?   ─   ceko 17.10.2023 um 21:10

Nutze die Einschränkungen für $c$, damit kommst du an $a$.   ─   cauchy 17.10.2023 um 21:20

Also, Deine Formeln für a und b sind schon mal richtig.
Zunächst muss nun den Bereich für c ermitteln, so dass gilt: \(a\ge 0, b\ge 0, c\ge 0\).

Es ist: \(a\ge 0 \;\Leftrightarrow\; 250 + c\ge 0\;\Leftrightarrow\;c\ge-250\). Das gilt aber ohnehin, da \(c\ge 0\).
Ferner ist \(b\ge 0\;\Leftrightarrow\;250-2c\ge 0\;\Rightarrow\;250\ge 2c\;\Leftrightarrow\;c \le 125\).

Damit hat man einen Bereich für c gefunden, der zulässige Lösungen liefert: \(0\le c \le 125\).
Hieraus und aus \(a = 250 + c\) kann man die möglichen Werte von a bestimmen.

  ─   m.simon.539 17.10.2023 um 22:48

Also 0 =< a =< 375?   ─   ceko 17.10.2023 um 23:37

Nee, \(250\le a \le 375\). Das kann man so sehen:
\(0\le c \le 125\).
Nun addiere ich 250 links, rechts und in der Mitte:
\(250\le c+250 \le 375\).
Also: \(250\le a \le 375\).
  ─   m.simon.539 17.10.2023 um 23:44

Also ich kann die Aufgabe nachvollziehen und das reicht fürs erste. Ich danke Ihnen für die ganz Tollen Erklärungen.   ─   ceko 18.10.2023 um 10:50

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Lege erstmal fest, was deine Variablen bedeuten. Dann ist es wesentlich einfacher, die passenden Gleichungen aufzustellen. Bei dir ergeben beide Gleichungen keinen Sinn.
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