Ist meie Herangehensweise die richtige?

Aufrufe: 623     Aktiv: 15.10.2021 um 12:26

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Aufgabe:
Es sind zwei Urnen gegeben. In der ersten Urne befinden sich 15 weiße und 12 schwarze Murmeln. In der zweiten Urne befinden sich hingegen 14 weiße und 18 schwarze Murmeln. Maria führt nun einen experiment durch. Sie nimmt zwei Murmeln auf einmal aus der ersten Urne und verschiebt sie in die Zweite. Dann nimmt sie aus der zweiten Urne ohne hinzusehen eine Murmel.

a) Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie eine weiße Murmel aus der zweiten
    Urne zieht?
b) Es ist bekannt, dass sie aus der zweiten Urne eine schwarze Murmel gezogen
    hat. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass Maria davor zwei Murmeln
    unterschiedlicher Farbe von der ersten Urne in die zweite Urne verschoben hat?

Ansatz:
a) Nach der Verschiebung kann die zweite Urne folgendermaßen ausschauen:

  • 16 weiße und 18 schwarze Murmeln, \(\frac{16}{34}\) (Wahrscheinlichkeit ein weiße Murmel aus der zweiten Urne zu ziehen)
  • 15 weiße und 19 schwarze Murmeln, \(\frac{15}{34}\) (Wahrscheinlichkeit ein weiße Murmel aus der zweiten Urne zu ziehen)
  • 14 weiße und 20 schwarze Murmeln, \(\frac{14}{34}\) (Wahrscheinlichkeit ein weiße Murmel aus der zweiten Urne zu ziehen)
Wahrscheinlichkeit eine weiße Murmel zu ziehen: \(\frac{16}{34}*\frac{\binom{15}{2}}{\binom{27}{2}} + \frac{15}{34}*\frac{15*12}{\binom{27}{2}} + \frac{14}{34}*\frac{\binom{12}{2}}{\binom{27}{2}} = \frac{4}{9}\)

b) \(A\) ... zwei Murmeln unterschiedlicher Farbe werden von der ersten Urne in dei zweite Urne verschoben.
    \(B\) ... die Murmel die aus der zweiten Urne gezogen wurde ist schwarz
\(P(A) = \frac{20}{39}\)
\(P(B) = \frac{5}{9}\)
\(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A) * P(A)}{P(B)} = \frac{\frac{19}{34}*\frac{20}{39}}{\frac{5}{9}} = \frac{114}{221} \)

Frage:
Ist meie Herangehensweise die Richtige oder habe ich mich irgendwo vertan?
Vor allem bei Unteraufgabe \(b)\) habe ich Zweifel ob ich richtig gerechnet habe.
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Also für mich sieht das alles gut aus :)
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