Konvergenz beweisen

Aufrufe: 941     Aktiv: 31.10.2019 um 22:23

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Hallo zusammen! Wie beweise ich ob eine Folge konvergent ist? Die Aufgabenstellung lautet: Untersuchen sie die Folge (an)n auf Konvergenz bzw. Divergenz. Bestimmen sie im Falle der Konvergenz auch ihren Grenzwert. Den Grenzwert habe ich zwar schon bestimmt, aber ich glaube immer noch, dass mit der erste Teil der Aufgabe fehlt. 🤔

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Hallo,

die Definition der Konvergenz einer Folge ist:

$$ \forall \varepsilon >0 \ \exists N \in \mathbb{N} \ \forall n \geq N \ : \vert a_n - a \vert < \varepsilon $$

Um nun die Konvergenz zu zeigen, musst du zeigen, dass es ein \( N \) gibt, ab dem für alle Folgeglieder

$$ \vert a_n - a \vert < \varepsilon $$

gilt. 

Also setzt du deinen Grenzwert und deine Folge ein und schätzt so lange ab, bist du einen Wert für \( N \) erhälst. 

Versuch dich mal dran, wenn du nicht weiter kommst, melde dich gerne wieder.

Grüße Christian

 

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Leider komme ich nicht ganz weiter. Ich habe die Folge an := ((n^3+n^2)/(n^3))^(n/300+1) und habe den Grenzwert e^(1/300) bestimmt. Ich hatte die Idee die Folge auf Monotonie und Beschränktet zu untersuchen, weil die eine Folge Konvergent ist, wenn diese Folge Monoton und Beschränkt. Aber auch hier bekomme diese Eigenschaften nicht allgemein beweisen.
  ─   FFD 29.10.2019 um 18:57

Sicher, dass es sich um keine Nullfolge handelt?   ─   maccheroni_konstante 29.10.2019 um 19:01

Ja, habe mich verschrieben. Die Folge lautet korrekt: an:= ((n^3+n^2)/(n^3))^(n/300+1).   ─   FFD 29.10.2019 um 19:12

Hmm bei dieser Folge kommt es sehr stark darauf an was ihr bist jetzt gemacht habt.
Wenn ihr
$$ \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac 1 n \right)^n = e $$
schon bewiesen habt wird es sehr einfach. Dann musst du deinen Ausdruck nur auf eine ähnliche Form bringen.
Ansonsten wäre der beste Weg der mir gerade einfallen würde über die Reihendarstellung der Exponentialfunktion zu gehen und eventuell mit Taylor abzuschätzen. Müsste man mal durchrechnen ob das zum Erfolg führt.
Ansonsten musst du mal im Skript gucken, ob ihr gegebenenfalls passende Abschätzungen bewiesen habt.
Aber der Grenzwert der Exponentialfunktionsfolge wird im Allgemeinen über "Umwege" bewiesen, weil es doch ansonsten eher schwierig wird.

Grüße Christian
  ─   christian_strack 30.10.2019 um 14:09

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