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zuerst einmal solltest du nicht versuchen die Musterlösung nachzuvollziehen sondern DEINE eigene Lösung zu finden.

Zu deiner Frage, mach doch mal eine Partialbruchzerlegung von $\dfrac{1}{k(k-3)}$. Dann solltest du den ersten Schritt der Musterlösung nachvollziehen können. Dann wird die Summe aufgeteilt und eine Indexverschiebung gemacht, so dass der selbe Summenausdruck dasteht und sich bestimmte Glieder gegenseitig wegheben. Schreibe DIR die einzelnen Unformungen Schritt für Schritt auf und versuche diese nachzuvollziehen.