Übersetzung Prädikatenlogik

Aufrufe: 202     Aktiv: 05.11.2023 um 23:57

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Meine Frage bezieht sich auf folgende Aufgabe:


Ich bin immer ein wenig überfragt, wie ich das ganze optimal übersetzen soll, sodass ich auch sofort den Sinn verstehe. Meine Übersetzung würde lauten: "Für jedes m gibt es ein n, sodass für jedes a und b gilt, dass m kleiner gleich n und a=1 oder b=1 oder ab ungleich n ist." Und ich frage mich wie ich die Wahrheit dieser Aussage prüfen soll. Was ich aber vermute ist, dass der wesentliche Aspekt dieser Aussage sein wird, dass die Oder-Bedingungen immer erfüllt werden sollte. Der Rest sollte trivial immer erfüllbar sein. Also für diese Zahl n dürfte ich sie entweder nicht in 2 Faktoren aufteilen können oder einer der beiden Variablen a oder b oder beide gleichzeitig muss 1 sein. Wenn ich ein Gegenbeispiel finden würde, dann wäre ja die Aussage nicht wahr. Das Problem ist, ich müsste m wählen und dann ein entsprechendes n finden für jedes beliebige m, sodass die Bedingung nicht gelte. Gibt es hier vielleicht eine schnellere Methode, die ich übersehe?

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Du sollst das ganze ja erstmal in einen schönen Satz umsetzen - ohne die Logik zu verändern natürlich.
Betrachte mal die Teilaussageform $A(n):=\forall a,b \in N: a=1 \lor b=1 \lor a\,b\neq n$ und übersetze dies erstmal. Die Gesamtaussage ist dann ja:
$\forall m\,\exists n\ge m: A(n)$.
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"Es gilt, dass a oder b gleich 1 oder ab ungleich n ist für alle a und b aus den natürlichen Zahlen." Dies wäre meine Übersetzung zu der Teilaussage. Ich frage mich nur, hast du das n und m in der Gesamtaussage bewusst vertauscht?   ─   unclever2001 05.11.2023 um 23:29

Die Vertauschung in der Gesamtaussage war ein Versehen, sorry (ist korrigiert). Jetzt hast Du die Teilaussage abgelesen, versuch mal daraus einen griffigen klaren Satz zu machen. Betrachte dazu $\neg A(n)$ und spiele bei Bedarf ein paar n durch.   ─   mikn 05.11.2023 um 23:34

Oh ok. Ich hätte noch eine Idee für einen hoffentlich relativ klaren Satz für $\neg A(n)$: Es gibt eine natürliche Zahl, die sich in 2 natürliche Zahlen zerlegen lässt, ohne dass diese jeweils oder beide 1 sein dürfen. Was mir gerade eben aufgefallen ist, dass das n ja dann eine Nichtprimzahl sein müsste, da sie sich ja in Faktoren von natürlichen Zahlen dann zerlegen lässt.   ─   unclever2001 05.11.2023 um 23:51

Sortiere Deine Überlegungen nochmal. $\neq A(n)$ fängt nicht mit "es gibt eine natürliche Zahl" an. Du bist auf der richtigen Spur, aber es ist Sorgfalt in den Details nötig.   ─   mikn 05.11.2023 um 23:57

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