Ungleichung mit Mittelwertsatz zeigen/beweisen

Aufrufe: 527     Aktiv: 20.01.2021 um 15:50

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Hallo,

Ich verstehe leider die Lösung der Aufgabe im Bild nicht, das Anwenden des Mittelwertsatzes habe ich zwar verstanden und habe das auch so wie in der Lösung, aber die darausfolgenden Schlussfolgerungen verstehe ich nicht (also alles unterhalb des schwarzen Striches). Insbesondere warum man auf einmal die Kehrwerte nimmt und der Term mit dem xi (ich weiß leider nicht wie man das Zeichen selbst hier einfügt) verschwindet.  Könnte mir vielleicht jemand (in möglichst einfachen Worten) diese Lösung erklären ?

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Wir wissen, dass \(\xi\in(3,4)\) nach dem Mittelwertsatz. Nun ist \(x\mapsto\sqrt x\) streng monoton steigend, also folgt \(2\sqrt3<2\sqrt\xi<2\sqrt4=4.\) Das setzen wir jetzt in \(2-\sqrt3=\frac1{2\sqrt\xi}\) ein und erhalten die Ungleichung \(\frac14<2-\sqrt3<\frac1{2\sqrt3}\). Jetzt nimmst du nur noch jede der beiden Ungleichungen und formst jeweils nach \(\sqrt3\) um.

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