Berechnen Sie P (X < Y)

Aufrufe: 169     Aktiv: 07.07.2021 um 00:06

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Wie geht man sowas an? Braucht man dafür einen Satz um die Ungleichung zu berechnen?

Es seien X und Y zwei unabhängige, zu den Parametern \( a \in (0,\infty) \) und \( b \in (0,\infty) \) exponentiell verteilte Zufallsgrößen. Berechnen Sie \( \mathbb{P}(X < Y)   \)

LG Labis
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Hinweis: \(X,Y\) sind genau dann unabhängig, wenn für die Dichte(n) 
\[f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\]
gilt.
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Student, Punkte: 400

 

Moin. Ja der Satz ist mir bekannt. Unabhängigkeit von ZVen. Aber das muss ich ja nicht überprüfen? Die sind ja gegeben, dass sie unabhängig sind. Aber ich kann ja mal aufschreiben, vllt komm ich ja drauf, wie es weiter geht.

\( f_X (x) = a*e^{-at} \) und \( f_Y(y) = b*e^{-bt} \). Dann ist \( f_{X,Y}(x,y) = ab*e^{t(-a-b)} \), richtig?

Wenn das nun richtig ist, soll mich das ja weiter bringen, hmm. \( \mathbb{P}(X < Y) \) ist das W'Maß über zwei ZVen. Aber wie soll das denn funktionieren? Ich mein, muss ich hier herausfinden, für welchen Fall X < Y ist und dies ist dann dies was ich da einsetzen muss?

Also \( f_X (x) = a*e^{-at} \) < \( f_Y(y) = b*e^{-bt} \longrightarrow \) \( a*e^{-at} < b*e^{-bt} \)

\( \Leftrightarrow \) \( \frac{a}{b} < \frac{exp(-bt)}{exp(-at)} \)

\( \Leftrightarrow \) \( \frac{a}{b} < exp^\frac{-bt}{-at} \)

\( \Leftrightarrow \) \( \frac{a}{b} < exp^\frac{b}{a} \)

\( \Leftrightarrow \) \( ln(\frac{a}{b}) < ln*exp^\frac{b}{a} \)

\( \Leftrightarrow \) \( ln(\frac{a}{b}) < \frac{b}{a} \)

und ab hier weiß ich nicht, ob es 1.) sinnvoll ist was ich hier mache und 2.) richtig umgeformt :D
  ─   labis 06.07.2021 um 14:18

Ich würde hier über Integrale gehen. Es ist ja z.B. \[\mathbb{P}(X\leq a)=\int_{-\infty}^{a}d\mathbb{P}_X.\]
Man kann sich für deinen Fall etwas ähnliches überlegen. Die Unabhängigkeit braucht man, um dann zwei Integrale zu bekommen.
Du solltest dann
\[\mathbb{P}(X< Y) = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{y} ae^{-ax} be^{-by} \,\,dx dy\]
erhalten.
  ─   orbit 06.07.2021 um 14:50

ach so. das regelt man dann über die Integralgrenzen, logisch. Wenn X kleiner gleich a, dann kann es ja nur bis a gehen, statt über ganz R. danke für diesen Zusammenhang! dh. wenn X kleiner Y würde das Integral von -Infinity bis Y laufen, aber da ich den Definitionsbereich bei (0,inf) liegt, starte ich bei 0 und integriere für Y bis unendlich und für X bis Y.

Das sieht ja dann wie folgt aus:

\( = ab \int_0^\infty\int_0^yexp(-ax-by) \ dxdy \)

\( = ab \int_0^\infty [\frac{exp(-ax-by)}{a}]_0^y \ dy \)

\( = ab \int_0^\infty [\frac{exp(-ay-by)}{a}-\frac{exp(-a*0-by)}{a}]_0^y \ dy = \) ...

\( = b \int_0^\infty exp(-ay) \ dy \)

\( = b \ [\frac{exp(-ay)}{a}]_0^\infty \ dy \)

wie geht es nun weiter? wenn y unendlich groß wird, wird e gleich 0 und das ist nicht schön, oder habe ich mich verrechnet? (ich muss jetzt erst mal zur arbeit. bis später, und danke! leider habe ich keinen den ich fragen kann, daher landen meine Fragen hier im Forum)
  ─   labis 06.07.2021 um 16:15

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Deine erste Begründung ist sehr heuristisch. Du kannst ja mal in dein Skript gucken und versuchen, das ganze formal sauber zu erörtern.
Die Unabhängigkeit ist hier jedenfalls wichtig.

Zur Rechnung. Es ist
\[\int_{0}^{y}e^{-ax-by}dx=\frac{(e^{ay}-1)e^{-by-ay}}{a}\]
und
\[\int_{0}^{\infty}(e^{ay}-1)e^{-by-ay}dy=\frac{a}{b(a+b)}\]
somit
\[\mathbb{P}(X< Y)=\frac{a}{a+b}.\]
Die Zwischenschritte überlasse ich mal dir.
  ─   orbit 06.07.2021 um 16:51

erst mal zur Aufgabe: mit \( \mathbb{P}(X < Y) = \frac{a}{a+b} \) ist nun das W'Maß berechnet, danke!
Zur inhaltlichen Begründung wird sich morgen schlau gemacht.

Nun habe ich noch mal gerechnet und Fehler entdeckt. Wenn ich schon Faktoren rausziehe, dann sollte man es komplett und nicht halbherzig machen. Der Vollständigkeit und der Kontrolle zur Liebe:

\[ f_{X,Y}(x,y) = f_X(x)f_Y(y) \]
\[ = \int_0^\infty\int_0^y \ a*exp(-ax)*b*exp(-by) \ dxdy \]
\[ = ab \int_0^\infty\int_0^y \ exp(-ax)*exp(-by) \ dxdy \]
\[ = ab \int_0^\infty exp(-by) \int_0^y \ exp(-ax) \ dxdy \]
EDIT: Vorzeichenkorrektur \[ = ab \int_0^\infty exp(-by)*[ -\frac{exp(-ax)}{a}]_0^y \ \ dy \]
\[ = ab \int_0^\infty exp(-by)*( -\frac{exp(-ay)}{a}-(-\frac{exp(-a*0)}{a}) \ \ dy \]
\[ = ab \int_0^\infty exp(-by)*( -\frac{exp(-ay)}{a}+\frac{1}{a}) \ \ dy \]
\[ = ab \int_0^\infty exp(-by)*(\frac{1}{a} (-exp(-ay)+1)) \ \ dy \]
\[ = b \int_0^\infty e^{-by}(-e^{-ay}+1)) \ \ dy \]

bis hierhin korrekt? bevor ich jetzt weiter mache und es falsch habe :D
  ─   labis 06.07.2021 um 22:50

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Es müsste
\[\int e^{-ax}dx=-\frac{e^{-ax}}{a}+c\]
sein. Bei dir fehlt denke ich ein negatives Vorzeichen?
  ─   orbit 06.07.2021 um 23:08

jap. -.-
ich korrigier das einmal.
  ─   labis 06.07.2021 um 23:27

Sollte soweit passen   ─   orbit 07.07.2021 um 00:06

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