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Das charakteristische Polynom, in Linearfaktoren zerlegt, lautet: \(\chi_A(X) = (X-i)(X+i)X^4 \).
In der Jordan-Normalform müssen die Nullstellen dieses Polynoms entsprechend ihrer Vielfachheit auf der Hauptdiagonale auftauchen.
Also lautet die Hauptdiagonale: \(i, -i, 0, 0, 0, 0\).
Nun hilft der Wiki-Artikel Minimalpolynom weiter. Dort steht: "Somit ist die Größe des größten zu \(\lambda\) gehörenden Jordanblocks der jordanschen Normalform von A identisch mit der Vielfachheit von \(\lambda\) im Minimalpolynom p".
Die Nullstellen i und -i haben im Minimalpolynom jeweils die Vielfachheit 1. Für die Nullstelle 0 verbleibt deshalb die Vielfachheit 5-1-1=3. Es muss also ein Jordanblock der Größe 3 mit Nullen auf der Hauptdiagonale geben. Damit ist klar, wie die Jordan-Normalform aussieht.
In der Jordan-Normalform müssen die Nullstellen dieses Polynoms entsprechend ihrer Vielfachheit auf der Hauptdiagonale auftauchen.
Also lautet die Hauptdiagonale: \(i, -i, 0, 0, 0, 0\).
Nun hilft der Wiki-Artikel Minimalpolynom weiter. Dort steht: "Somit ist die Größe des größten zu \(\lambda\) gehörenden Jordanblocks der jordanschen Normalform von A identisch mit der Vielfachheit von \(\lambda\) im Minimalpolynom p".
Die Nullstellen i und -i haben im Minimalpolynom jeweils die Vielfachheit 1. Für die Nullstelle 0 verbleibt deshalb die Vielfachheit 5-1-1=3. Es muss also ein Jordanblock der Größe 3 mit Nullen auf der Hauptdiagonale geben. Damit ist klar, wie die Jordan-Normalform aussieht.
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m.simon.539
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Im Komplexen zerfällt das Polynom sehr wohl in Linearfaktoren: \((X-i)(X+i)X^4\).
Die JNF einer rein rationalen Matrix muss nicht rein rational sein, sie darf auch echt komplex sein. ─ m.simon.539 05.12.2023 um 01:26