Jordan Normalform angeben ohne gegebene Matrix

Erste Frage Aufrufe: 158     Aktiv: 06.12.2023 um 01:49

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Aufgabe: 

Gegeben sei eine Matrix A ∈ Q6×6 mit χA(X) = X6 + X4 und deg(µA(X)) = 5.
a) Bestimmen Sie die Jordan-Normalform von A.
b) Bestimmen Sie die primäre rationale Normalform von A.
c) Bestimmen Sie die rationale Normalform von A.


Problem/Ansatz: 

Ich habe mich lange damit beschäftigt, wie ich die JNF, PRNF und RNF (Frobenius-Normalform) einer angegebenen Matrix bestimme. Jetzt wird hier in der Aufgabe keine Matrix angegeben und das charakteristische Polynom zerfällt nicht komplett in Linearfaktoren... Wie kann ich hier weiterkommen? :( Danke für eure Hilfe!

gefragt

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Was ist denn deg(µA(X)) ? Ist das die Summe der geometrischen Vielfachheiten der Matrix?
Im Komplexen zerfällt das Polynom sehr wohl in Linearfaktoren: \((X-i)(X+i)X^4\).
Die JNF einer rein rationalen Matrix muss nicht rein rational sein, sie darf auch echt komplex sein.
  ─   m.simon.539 05.12.2023 um 01:26

Das ist der Grad des Minimalpolynoms. Müsste dann auch der größte Jordanblock sein. Bin mir da aber nicht mehr so sicher.   ─   cauchy 05.12.2023 um 02:30
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Das charakteristische Polynom, in Linearfaktoren zerlegt, lautet: \(\chi_A(X) = (X-i)(X+i)X^4 \).
In der Jordan-Normalform müssen die Nullstellen dieses Polynoms entsprechend ihrer Vielfachheit auf der Hauptdiagonale auftauchen.
Also lautet die Hauptdiagonale: \(i, -i, 0, 0, 0, 0\).
Nun hilft der Wiki-Artikel Minimalpolynom weiter. Dort steht: "Somit ist die Größe des größten zu \(\lambda\) gehörenden Jordanblocks der jordanschen Normalform von A identisch mit der Vielfachheit von \(\lambda\) im Minimalpolynom p".
Die Nullstellen i und -i haben im Minimalpolynom jeweils die Vielfachheit 1. Für die Nullstelle 0 verbleibt deshalb die Vielfachheit 5-1-1=3. Es muss also ein Jordanblock der Größe 3 mit Nullen auf der Hauptdiagonale geben. Damit ist klar, wie die Jordan-Normalform aussieht.
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