Skizzieren einer Menge in C

Aufrufe: 115     Aktiv: 13.03.2024 um 12:14

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Bei dieser Aufgabe weiß ich nicht, wie ich alle Punkte berechnen kann, um die Menge zu skizzieren. 

$D =\left \{ z \in \mathbb{C}: (z-i)^3=8 \right \}$ 
Ich weiß, dass die einer der Lösung $z= 2+i$) ist.

Wie berechne ich die anderen bzw. woher erkenne ich, wie viele Lösungen es gibt?

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Vielen Dank für die schnelle Hilfe, ich habe aber noch ein paar schwierigkeiten. Im Video stand Z immer alleine. Bei meiner Aufgabe jedoch habe ich $ (z-i)^3$ stehen . Wie bekomme ich es hin, dass ich z alleine stehen lasse?   ─   misterakule8 12.03.2024 um 15:08

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Setze $u:=z-i$ und bestimme $u$. Danach $z$.   ─   mikn 12.03.2024 um 18:20

Für die erste Lösung würde ich ja $ u:= z-i \Longrightarrow u^3 = 8$ Dazu müsste ich ja die dritte wurzel nehmen, sodass ich $ \sqrt [3]{u^3} =\sqrt [3] {8} $ , was ja $u=2$ ist.

Dann resubstituiere ich $u$ wieder zurück und bringe das $i$ auf die andere Seite:
$z- i = 2 $ wird zu: $ z = 2 + i$

Jetzt kann ich den $r$ berechnen, was ja $ \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $ ist.
Mein problem liegt jetzt bei $φ$. Es müsste doch gelten $φ = arrcos(\frac{2}{\sqrt{5}})$
Aber dabei kommt $ φ = 0.46364$ raus.
Die Lösung aber sagt mir, dass ich $ z_1 = 2+1$, $z_2= 2 \cdot e^{i\frac{2\pi}{3}}+i$ und $z_3 = 2 \cdot e^{i\frac{4\pi}{3}}+i$ bekommen muss. Wo habe ich den Denkfehler?
  ─   misterakule8 13.03.2024 um 10:33

Da sind gleich mehrere Fehler. Der erste ist, dass Dein Ziel ist, auf eine vorgegebene Lösung zu kommen ohne zu verstehen worum es geht. Daher versuchst noch abenteuerlichere Gedankengänge.
Also: 1. Leg die Lösung weg (generell bei Aufgaben). Sie dient zur Kontrolle, wenn Du eine Lösung hast (vorher nicht).
2. "Dazu müsste ich ja die dritte wurzel nehmen, sodass ich ... , was ja u=2 ist." Eben nicht. Es ist Dir sicher in der Vorlesung erklärt worden, und außerdem in den beiden obigen von mir genannten Quellen, wie man in C die Gleichung $u^3=8$ löst. Arbeite das durch.
  ─   mikn 13.03.2024 um 12:14

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