"Aufleiten"

Aufrufe: 271     Aktiv: 16.10.2023 um 20:28

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Ich habe eine allgemeine Frage zum "Aufleiten" oder integrieren. Ich verstehe das System dahinter nicht so ganz, zum Beispiel bei 3x-1 ist das Ergebnis ja 3/2x^2-1x, aber gibt es da eine gewisse herangehensweise oder einen trick den ich mir merken kann um das Aufleiten für mich einfacher zu machen. Ich finde es schwierig hier so zu sagen rückwärts zu denken. Danke im Voraus
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Du musst dir vorstellen, dass das Integrieren das Gegenteil zu Differenzieren ist.
Ich geb dir ein Beispiel: 

\(f(x)=3x^2+5x+3\) 
\(f'(x)=6x+5\)

Wenn du nun Integrierst bzw das unbestimmte Integral bildest:

\(\int f'(x) dx = \int 6x+5 dx = \frac{6} {2}x^2 + 5x + c =3x^2 +5x+c\) 
Wobei C eine Integrationskonstante ist, in diesem Fall würde die Konstante c=3 sein, wenn du auf die selbe Stammfunktion zurück willst. Es gibt im Prinzip unendlich viele Stammfunktionen einer Funktion, da eine Konstante wie +3 beim Differenzieren wegfällt. Deshalb auch die Konstane c bei einem unbestimmten Integral nicht vergessen. 

Prinzipiell gilt:
\(\int x^n dx = \frac {1} {n+1} x^{n+1} +c\)
Suche mal nach Integrationstabellen im Internet, es wird nicht alles nach diesem Schema Integriert z.b \(\int a^x dx\)  wobei a hier eine Konstante ist und schon gar nicht bei Fällen wie z.B.: \(\int cos(x) \cdot  e^x dx\) usw.

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Dankeschön, könnetst du mir evtl. auch noch erklären was mit der Aufgabenstellung " bestimmen sie zwei stammfunktion F1 und F2 von f gemeint ist. Eine Aufgabe wäre 0,5x^3 eine andere einfach nur 0
  ─   amon105 16.10.2023 um 17:25

Eine für \(f(x)=0.5x^3\) und eine für \(f(x)=0\) oder jeweils zwei für beide? Wobei „die“ Stammfunktion von \(f(x)=0\), \(0+c\) ist, da \(0\cdot x=0\) ist. Du solltest mit der Anleitung das nun selber schaffen können, versuch es mal und schreib deinen Versuch mal hier her falls du weitere Hilfe benötigst.   ─   eldegery 16.10.2023 um 17:56

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Rückwärts denken ist hier aber tatsächlich das Zauberwort. Was passiert beim Ableiten:
1. Mit dem Exponenten multiplizieren. 
2. Exponent minus 1. 

Kehren wir beim Aufleiten die Operationen um (multiplizieren wird zu c dividieren und minus zu plus) und ändern die Reihenfolge, so ergibt sich beim Aufleiten:
1. Exponent plus 1.
2. Durch den Exponenten dividieren. 

Das gilt natürlich nur für die entsprechenden Funktionen. Beim Dividieren empfiehlt sich immer die Bruchschreibweise. Dann muss man häufig weniger rechnen als beim Ableiten. ;)
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