Ja, deine Rechnung zeigt das Problem. Die Definition des Erwartungswertes benutzt du falsch. Du musst die einzelnen Werte deiner Zufallsvariabeln mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit gewichten. Die rechnest hier aber in der Summe immer mit $\frac{1}{20}$ und gehst davon aus, dass jede Augensumme gleichwahrscheinlich ist, was aber falsch ist. Beim Erwartungswert an sich, ist das kein Problem, weil man hier einfach die Linearität ausnutzen kann, das heißt $E[X+X]=2E[X]$. Bei der Varianz mit $\operatorname{Var}(X)=E[(X-\mu)^2]$ funktioniert das aber eben nicht. 

Also: Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Augensumme auf und berechne dann die Varianz über $\operatorname{Var}(X)=\sum(x_i-\mu)^2p_i$.

Einfacher könnte es hier aber auch sein, $\operatorname{Var}(X+X)=2\operatorname{Var}(X)$ (gilt im Allgemeinen nicht, hier nur wegen der Unabhängigkeit der Würfel) zu berechnen.