Varianz bei zweimaligen Würfel Wurf

Erste Frage Aufrufe: 56     Aktiv: 20.06.2022 um 14:19

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Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariablen X = Augensumme beim zweifachen Wurf mit einem Ikosaederwürfel. Anmerkung: Ein Ikosaederwürfel besitzt 20 Flächen, die von 1 bis 20 durchnummeriert sind.

Den Erwartungswert zu berechnen ist relativ einfach:

E[X] = ([1+2+3+...+19+20] * 1/20) * 2 (Da man zweimal würfelt).

Bei der Varianz bin ich aber komplett verloren.

Habe versucht für einen Wurf zu rechnen und multiplizieren, Verschiebungssatz, ich weiß nicht weiter.

Laut den Ergebnissen ist die richtige Antwort:  V(X) = 66.5

EDIT vom 20.06.2022 um 12:27:

Rechnungsversuch bei der Varianz

1. Versuch:

V(X) = E((X − μ) 2)

V(X) = ((1-21)^2 + (2-21)^2 + (3-21)^2 + ... (20-21)^2 ) * 1/20

 

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Und wo ist dieser Versuch? Rechnung hochladen.   ─   cauchy 19.06.2022 um 19:31
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Ja, deine Rechnung zeigt das Problem. Die Definition des Erwartungswertes benutzt du falsch. Du musst die einzelnen Werte deiner Zufallsvariabeln mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit gewichten. Die rechnest hier aber in der Summe immer mit $\frac{1}{20}$ und gehst davon aus, dass jede Augensumme gleichwahrscheinlich ist, was aber falsch ist. Beim Erwartungswert an sich, ist das kein Problem, weil man hier einfach die Linearität ausnutzen kann, das heißt $E[X+X]=2E[X]$. Bei der Varianz mit $\operatorname{Var}(X)=E[(X-\mu)^2]$ funktioniert das aber eben nicht. 

Also: Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Augensumme auf und berechne dann die Varianz über $\operatorname{Var}(X)=\sum(x_i-\mu)^2p_i$.

Einfacher könnte es hier aber auch sein, $\operatorname{Var}(X+X)=2\operatorname{Var}(X)$ (gilt im Allgemeinen nicht, hier nur wegen der Unabhängigkeit der Würfel) zu berechnen.
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