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Wie kann man aus dem einen auf das andere folgern?
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Ihr verwendet sicherlich das \(\varepsilon\)-Kriterium für die Konvergenz? Schreibe doch mal die Definition auf für das, was nach Voraussetzung gilt und überlege dir, was du für deine Behauptung zeigen musst.
Wenn \(\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} a_n=a\) gilt, dann gibt es zu jedem \(\varepsilon >0\) ein \(N(\varepsilon)\in \mathbb{N}\), so dass für alle \(n\geq N(\varepsilon\) gilt: \(|a_n-a|<\varepsilon\).
Du willst nun zeigen, dass \(\sqrt{a_n} \longrightarrow \sqrt{a}\) gilt. Also musst du für ein geeignetes \(N(\varepsilon)\) zeigen, dass
\(|\sqrt{a_n}-\sqrt{a}|\leq \ldots <\varepsilon\)
gilt. Dabei solltest du \(|a_n-a|<\varepsilon\) verwenden. Kennst du denn eine Abschätzung für Wurzeln?
Hoffe das hilft dir weiter.
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maqu
Punkte: 8.84K
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Ich hatte zuerst gedacht, dass man das mit dem "Einschließungskriterium" lösen kann. Und nein, kenne keine Abschätzung für Wurzeln.
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queenlikealion
19.01.2021 um 00:09
Ok das geht sicherlich auch, aber ist denke ich komplizierter, da du ja in zwei Richtungen abschätzen musst ... wende mal \(\Big{|} \sqrt[n]{|a|} -\sqrt[n]{|b|}\Big{|} \leq \sqrt[n]{|a-b|}\) für \(n=2\) auf das was du zeigen willst an, was kommt dann raus? ... du kannst dabei den Betrag einfach ergänzen, da \(a_n\) und \(a\) laut Voraussetzung \(>0\) sind.
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maqu
19.01.2021 um 00:14
was ist denn jetzt a und b?
─ queenlikealion 19.01.2021 um 00:21
─ queenlikealion 19.01.2021 um 00:21
Das sind nur Platzhalter-Variablen für die Ungleichung die ich angegeben habe ich könnte auch \(\alpha\) und \(\beta\) oder \(i\) und \(j\) nehmen ... \(a,b\) können Element \(\mathbb{R}\) sein, also auf dein Beispiel bezogen .... \(|\sqrt{a_n} -\sqrt{a}|=|\sqrt{|a_n|}-\sqrt{|a|}| \leq \ldots \)?
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maqu
19.01.2021 um 00:25
hmm, versteh das wohl noch nicht.
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queenlikealion
19.01.2021 um 00:33
welchen Schritt genau verstehst du nicht? ... wende doch die Ungleichung von meinem vorletzten Kommentar mal auf die Gleichung in meinem letzten Kommentar an
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maqu
19.01.2021 um 00:36
weiß garnicht, was mit "anwenden" gemeint ist...
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queenlikealion
19.01.2021 um 00:39
verstehst du denn was man der \(\varepsilon\)-Definition für die Konvergenz von Folgen aussagen möchte? .... bzw. hast du schon einmal einen \(\varepsilon\)-Beweis geführt? ... vielleicht hilft dir dieses Video weiter, die Idee dahinter zu verstehen https://www.youtube.com/watch?v=ag_SQh4Ikds
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maqu
19.01.2021 um 00:44
mit anwenden meine ich die Ungleichung einfach mal verwenden bzw benutzen ... wie man die binomische Formel anwendet, wenn man \((x+1)^2=x^2+2x+1\) schreibt
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maqu
19.01.2021 um 00:47
Kann mir bei dieser Aufgabe auch irgendwie nichts darunter vorstellen, weil ich ja für n nichts einsetzten kann, bzw. dann keine Folgenglieder herausbekomme, wie es z.B. bei 2^n oder so der Fall wäre. Es ist ja einfach Wurzel aus a1, Wurzel aus a2 usw. Eben deswegen wirds ja auch gegen dieses Wurzel a konvergieren, macht ja auch alles Sinn. Aber hab absolut keine Ahnung, wie ich das mit irgendwelchen Kriterien beweisen soll.
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queenlikealion
19.01.2021 um 00:58
Für mich ist das einfach, wenn an gegen a konvergiert, ja dann wird ja auch Wurzel aus an gegen Wurzel aus a konvergieren. Man zieht ja nur die Wurzel und das "Verhältnis" ist ja das selbe.
─ queenlikealion 19.01.2021 um 01:01
─ queenlikealion 19.01.2021 um 01:01
ok ich verstehe das es schwierig für dich sein mag da du keine explizite Folge gegeben hast und für ein großes n schauen kannst wohin der Grenzwert läuft ... aber deine Aufgabe lautet ja gemäß der Definition zu beweisen und damit reicht es nicht aus das es "nur" Sinn ergibt ... tatsächlich zeigst du die aussage für alle Folgen \(a_n\) die gegen einen beliebigen Grenzwert \(a\) konvergieren, dass dann auch die Folge der Wurzeln aus \(a_n\) gegen die Wurzel des Grenzwerts \(a\) konvergieren ... ok ich schreib dir auf was ich meine, man wählt ein \(n\geq N(\varepsilon^2)\), dann folgt:
\(\Big{|} \sqrt{a_n}- \sqrt{a}\Big{|}=\Big{|} \sqrt{|a_n|}-\sqrt{|a|}\Big{|}\leq \sqrt{|a_n-a|} <\sqrt{\varepsilon^2}=\varepsilon\)
Und das war es eigentlich schon .... wichtig ist, dass du \(|a_n-a|<\varepsilon\) verwenden musst ... man wählt sein \(n\) nun nicht nur \(\geq N(\varepsilon)\) sondern \(\geq N(\varepsilon^2)\), damit man statt \(|a_n-a|<\varepsilon\) nun \(|a_n-a|<\varepsilon^2\) abschätzen kann, so dass sich das Quadrat mit der Wurzel weghebt und am Ende das dasteht was du zeigen wolltest nämlich \(|\sqrt{a_n}-\sqrt{a}|<\varepsilon\) ergo \(\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} \sqrt{a_n}=\sqrt{a}\) ... hoffe das klärt deine Verständnisschwierigkeiten etwas auf ... ansonsten bin ich leider jetzt ratlos wie ich es dir anders erklären könnte >.< ─ maqu 19.01.2021 um 01:16
\(\Big{|} \sqrt{a_n}- \sqrt{a}\Big{|}=\Big{|} \sqrt{|a_n|}-\sqrt{|a|}\Big{|}\leq \sqrt{|a_n-a|} <\sqrt{\varepsilon^2}=\varepsilon\)
Und das war es eigentlich schon .... wichtig ist, dass du \(|a_n-a|<\varepsilon\) verwenden musst ... man wählt sein \(n\) nun nicht nur \(\geq N(\varepsilon)\) sondern \(\geq N(\varepsilon^2)\), damit man statt \(|a_n-a|<\varepsilon\) nun \(|a_n-a|<\varepsilon^2\) abschätzen kann, so dass sich das Quadrat mit der Wurzel weghebt und am Ende das dasteht was du zeigen wolltest nämlich \(|\sqrt{a_n}-\sqrt{a}|<\varepsilon\) ergo \(\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} \sqrt{a_n}=\sqrt{a}\) ... hoffe das klärt deine Verständnisschwierigkeiten etwas auf ... ansonsten bin ich leider jetzt ratlos wie ich es dir anders erklären könnte >.< ─ maqu 19.01.2021 um 01:16