Komplexe Nullstellen Reeller Polynome

Erste Frage Aufrufe: 240     Aktiv: 09.11.2023 um 17:13

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Es liegt ein Reelles Polynom vor 
$$ 
p(x)=x^4-3x^3+3x^2+x-6
$$

Bei einer Polynomdivision mit der erratenen Nullstelle $x_0=-1$ bleibt ein rest von $14$. 
Die Aufgabe lautet, alle reellen sowie komplexen Nullstellen der Funktion zu berechnen.  
Wie gehe ich weiter vor? 

EDIT vom 09.11.2023 um 14:43:


quadratische Ergänzng
gefragt

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Dann hast Du Dich verrechnet. Lade mal Deine Rechnung hoch (als Foto, oben "Frage bearbeiten").
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okay .. habe nochmal nachgerechnet und dort kommt tatsächlich null raus. Jedoch stellt sich mir immer noch die Frage, wie ich zu diesen "komplexen Nullstellen" komme?
  ─   user45b170 09.11.2023 um 13:51

Jedenfalls kommt, wenn ich die PQ-Formel anwende ein negativer Radikant raus. Namentlich
$p_0 (x) = -1 \pm \sqrt{-2}$

ist die komplexe Nullstelle dann einfach
$$
-1 \pm 2i
$$
?
  ─   user45b170 09.11.2023 um 13:59

Kommt drauf an, was jetzt übrig bleibt. Erstmal reell weiterrechnen. Erst wenn das nicht mehr geht, richtet man den Blick ins komplexe. Eine weitere reelle Nullstelle musst Du schon noch finden (Polynome von ungeradem Grad haben stets eine reelle Nullstelle).
PS: Im Prinzip ja, aber das Wurzelzeichen ist für negative Zahlen nicht definiert (siehe die Antwort auf Deine andere Frage) und verrechnet hast Du Dich auch irgendwo (an zwei Stellen).
  ─   mikn 09.11.2023 um 14:01

Ja .. ich würde sagen die Nullstellen sind:

$$
x_1 = -1 \quad x_2=2 \quad x_{3/4}=-1 \pm 2i

$$

könnte das sein?
  ─   user45b170 09.11.2023 um 14:05

$x_1,x_2$ stimmt, der Rest nicht.   ─   mikn 09.11.2023 um 14:06

ok ich bekomme aber als Lösung der Polynomdivision
$$
x^2-2x+3
$$

Die Lösung hiervon sollte sein

$$
-1 \pm \sqrt{-2}
$$

dass die Wurzel eines negativen Radikanten nicht definiert ist, weiss ich. Aber ich dachte genau für diesen Fall gäbe es die komplexen Zahlen ja. Das Beispiel, das ich in meiner anderen Frage als Bild hochgeladen hatte, stammt aus dem Skript zu unserer Vorlesung.

Jedenfalls wäre meine Lösung ensprechend der Lösung des Beispiels aus der anderen Frage dann

$$
-1 \pm i*2 = -1 \pm 2i
$$
  ─   user45b170 09.11.2023 um 14:19

Die komplexen Zahlen dienen dazu gewisse Gleichungen zu lösen, z.B. eben $z²=-1$, es geht um das Wurzelzeichen, das in diesem Fall nicht definiert ist (weil die Wurzelfunktion nicht definiert ist). Unterscheide (auch wenn's im Skript nicht gemacht wird), zwischen Wurzeln und Lösungen von Gleichungen. Hier brauchen wir letzteres.
Zu Deinem Ergebnis:
Nein, wäre es nicht. Dein quadratischer Ausdruck stimmt. Die pq-Formel ist fehleranfällig (hält viele aber nicht an deren Benutzung ab), verwende quadratische Ergänzung, die ist sicherer, brauchst Du sowieso für andere Zwecke noch und dabei kann man auch das Wurzelzeichen leichter vermeiden.
PS: Der mal-Punkt in LaTeX ist \cdot
  ─   mikn 09.11.2023 um 14:28

da kommt bei mir genau das selbe raus .. (s. Foto in der ergänzung der Frage)   ─   user45b170 09.11.2023 um 14:44

Gewöhn Dir an, das Wurzelzeichen in diesem Fall zu vermeiden, vor allem da Du ja weißt wie es geht.
Und nein, kommt nicht dasselbe raus. Du hast nicht zuende gerechnet.
  ─   mikn 09.11.2023 um 14:47

$ \pm \sqrt{2} i +1$   ─   user45b170 09.11.2023 um 16:09

Aha, geht doch :-)   ─   mikn 09.11.2023 um 16:12

@mikn: ich habe nun schon häufiger gelesen, dass du eher von der pq-Formel abrätst und die quadratische Ergänzung empfiehlst. Dabei ist die pq-Formel doch die direkte Schlussfolgerung der quadr. Erg. Inwiefern soll die pq-Formel fehleranfälliger sein? Ich habe damit nie Probleme gehabt. Würde mich also wirklich mal interessieren. Evtl. auch ein Beispiel, wo man den Nachteil der pq-Formel sehen kann. :)   ─   cauchy 09.11.2023 um 16:33

@cauchy Dass Du damit keine Probleme hast, davon gehe ich aus ;-). Ist meine Erfahrung von Jahren Klausurkorrektur, dass viele da durcheinanderkommen mit den Vorzeichen und dem richtigen Ablesen von p und q (Beispiele hier im Forum hast Du sicher auch gesehen). Inkl. ich selbst, daher kenne ich die auch nicht auswendig und belaste mein Gedächtnis nicht damit.
Die Umformungen bei der qE umgehen diese Unsicherheiten.
  ─   mikn 09.11.2023 um 16:39

Achso, also kein mathematisches Problem, sondern einfach eine Sache der Gewohnheit. Das beruhigt mich. Ich lehre auch die Formel nicht, sondern eher das Vorgehen: p halbieren und Vorzeichen ändern, das Ergebnis kommt dann quadriert unter die Wurzel und dann noch das q mit anderem Vorzeichen dazu. Da muss man sich dann keine augenscheinlich komplizierte Formel merken. Habe damit gute Erfahrungen. Wenn man dann auch schön mit Brüchen arbeitet, ist das zumindest für die Schulmathematik mehr als ausreichend. Wer dann noch mit Vieta die Probe schafft, sollte derartige Gleichungen in wenigen Sekunden lösen können.   ─   cauchy 09.11.2023 um 16:48

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