geg: \( h(x)=\frac{1}{9}e^{3x} -1 \)

ges: \(P(x_{0},y_{0})\) mit \(P \in \{h \cap t_{m=2}\}\) wobei \(t:y=mx +n\) Tangente an \(h(x)\) ist

Lsg: 1.Ableitungsfunktion bestimmen: \[h'(x)=\frac{1}{3}e^{3x}\]

2. Argument \(x_{0}\) zur gewünschten Steigung bestimmen: \[m=h'(x_{0})=2 \Leftrightarrow 2=\frac{1}{3}e^{3x_{0}} \overset{\cdot 3}{\Leftrightarrow} 6=e^{3x_{0}} \overset{\ln(...)}{\Leftrightarrow} \ln(6) = 3x_{0} \overset{:3}{\Leftrightarrow} x_{0} =\frac{\ln(6)}{3}\]

3. Ordinate mit der Originalfunktion finden: \[P \in \{ h \cap t_{m=2} \} \Rightarrow P(x_{0},y_{0}=h(x_{0})) \\ \Rightarrow y_{0}=h(x_{0}) = \frac{1}{9}e^{3x_{0}}-1 = \frac{1}{9}e^{3\cdot \frac{\ln(6)}{3}}-1 \\ = \frac{1}{9}e^{\ln(6)} -1 = \frac{6}{9} - \frac{9}{9} = -\frac{3}{9} =-\frac{1}{3} \]

4:Ergebnis: \[P \left(\frac{\ln(6)}{3},-\frac{1}{3} \right) \]

Ableitung berechnen, dann gleich 0 setzen, die dadurch entstehende Gleichung lösen. Das gibt den x-Wert. Diesen in den Funktionsterm einsetzen, ergibt den y-Wert.