Konvergenz einer Folge und dessen Folgeglied

Erste Frage Aufrufe: 391     Aktiv: 09.11.2021 um 22:18
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Sei $$(b_n)_{n \in {N}}$$ eine konvergente Folge mit dem Grenzwert $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=b$. Es soll mit der Def. der Konvergenz gezeigt werden, dass:
$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{b_n+b_{n+1}}{2}=b$$
Das klingt ja ersteinmal nicht unlogisch. Ich addiere eine konvergente Folge mit einem Folgeglied der selbigen konvergenten Folge und folglich erhalte ich auch den selben Grenzwert, wenn $n \to \infty $, da ja in die Unendlichkeit auch immer einer mehr reinpasst. Die Frage ist nur, wie man sowas mathematisch zeigen und ausdrücken kann. Da fehlt mir leider der Ansatz.
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Der Ansatz steht in der Aufgabenstellung: Def. der Konvergenz, schlag das nach.
Dann setze an $|\frac{b_n+b_{n+1}}2-b|$. Das soll ja kleiner $\varepsilon$ werden für $n>n_0$, wobei $n_0$ von $\varepsilon$ abhängt. Weil $b_n$ konvergiert, gibt es zu unserem $\varepsilon$ ein $n_1$, so dass $|b_n-b|< 2\varepsilon$ für alle $n>n_1$.
So, jetzt musst Du nur noch die Bausteine zusammensetzen, etwas Bruchrechnung, Dreiecksungleichung und überlegen, wie das gesuchte $n_0$ aussieht.
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Hm, das geht hier doch deutlich einfacher, oder nicht? Wenn ich zwei Folgen (a_n) und (b_n) habe, von denen ich weiß, dass sie konvergent sind, dann gilt für den Limes der Summenfolge, dass er sich aus der Summe der beiden Limites ergibt. Mehr braucht man nicht ...   ─   mathematinski 09.11.2021 um 21:08
Da hast du absolut recht. Das muss ich zugeben. Dennoch kann ich mich nicht des Gefühls erwehren, dass du mich irgendwie auf dem Kieker hast. Ist mir aber wumpe. Mach nur, wenn du dich dann besser fühlst :o)   ─   mathematinski 09.11.2021 um 21:17
@mikn: Nicht ich bin es, der persönlich wird, sondern vielmehr der gute Cauchy. Er hat ja völlig recht mit seiner Bemerkung, dass ich die Aufgabenstellung nicht korrekt gelesen habe. (Und meine Anmerkung somit überflüssig bzw. deplatziert.) Aber ständig kommentiert er mich und erst gestern hat er mir in einem (aus seiner Sicht) ähnlich gelagerten Fall unterstellt, ich würde "herumlabern". DAS finde ich persönlich. Und mir ist nicht wirklich klar, welches Problem er mit mir hat ...

Und ich bitte um Entschuldigung, wenn du meine - in der Tat nicht zielführende Anmerkung - als "unterschwelliges Persönlichwerden" empfunden hast. Das war wirklich nicht meine Absicht.   ─   mathematinski 09.11.2021 um 21:38
Alles gut. Wir müssen ja keine Freunde werden ...   ─   mathematinski 09.11.2021 um 21:46
Dass ich jetzt in wirklich sehr kurzer Zeit zweimal "am Thema vorbei" geantwortet habe - worauf du mich in der Sache völlig zurecht aufmerksam gemacht hast - ist tatsächlich doof, und sensibilisiert mich sicherlich dafür, die gestellten Fragen genauer zu lesen. Ansonsten kannst du mir unterstellen, wozu du lustig bist. Ich für mich weiß, dass es mir hier nicht darum geht, mich zu profilieren ...   ─   mathematinski 09.11.2021 um 22:01

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.