Hallo!

Hierbei bedienen wir uns der Stirling-Formel:

\(\displaystyle  n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{\mathrm{e}}\right)^n\).

Desweiteren müssen wir wissen, dass

\(\displaystyle  \underbrace{(\ell\cdot n)^{\frac{1}{n}}}_{=\sqrt[n]{\ell n}} = I \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{\ln(\ell\cdot n)}{n} = \ln(I) \quad\overset{\text{L' Hospital}}{\Longleftrightarrow}\quad \frac{\ell}{\ell\cdot n} = \ln(I)\). Bilden wir von der letzten Gleichung den Grenzwert \(\displaystyle n\to\infty\), so erhalten wir, dass \(\displaystyle  0 = \ln(I)\) gilt und somit insgesamt \(\displaystyle  1 = I\). (Bemerkung: Hierbei kann man \(\displaystyle  n = 2k\) setzen und den Beweis in völliger Analogie führen, um zu zeigen, dass der erste Faktor in der untenstehden Gleichung gegen \(\displaystyle  1\) konvergiert.) Wenn wir nun alles einsetzen und umformen, erhalten wir

\(\displaystyle  \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\left(\sqrt{2\pi  n}\right)^{\frac{1}{n}}}\cdot\mathrm{e}\cdot\frac{n+3}{n} = \mathrm{e}\).

Gruß.